Problematyczne zadanie z podobieństwa trójkątów.

[Slajder1]

Witam wszystkich. Czy mógłbym prosić o rozjaśnienie w jaki sposób można rozwiązać zadanie brzmiące:

W trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 14, |𝐵𝐶| = 16, |𝐴𝐶| = 12, poprowadzono
odcinek 𝐴𝐷 taki, że |∢𝐷𝐴𝐶| = |∢𝐴𝐵𝐷|. Wiedząc, że 𝐷 ∈ 𝐵𝐶, oblicz długość odcinka 𝐴𝐷.

Odpowiedź wynosi 10.5, lecz nie wychodzi mi dokładnie taki wynik.

[radagast]

Trójkąty ADC i BAC są podobne
zatem
\( \frac{|AC|}{|AD|} = \frac{|BC|}{|AB|} \)
czyli
\( \frac{12}{x}= \frac{16}{14} \)

[Slajder1]

Dziękuje za odpowiedź. Nie wiedziałem wcześniej że proporcje można układać również z dwóch odpowiednich boków trójkąta. Nie pomógł również fakt, że z treści zadania wynika że trójkąt ABC jest trójkątem ostrokątnym, a jeżeli trójkąty ADC i ABC są podobne to kąt|∢𝐷𝐴𝐵|i kąt|∢𝐷𝐴𝐶| tworzą kąt |∢𝐵𝐴𝐶| równy 90°.

[janusz55]

Nie tworzą w sumie kąta prostego, bo nie spełnione jest równanie Pitagorasa.

Na podstawie cech podobieństwa trójkątów -proporcje układa się w zależności od danych długości boków i kątów w tych trójkątach.

[Slajder1]

A w sumie to dlaczego trójkąt ABC nie jest prostokątny? Z treści zadania kąt |∢𝐷𝐴𝐶| = |∢𝐴𝐵𝐷| = 𝛼 . Kąt|∢𝐴𝐷𝐵| jest równy 90°,gdyż odcinek to najkrótsza odległość punktu od prostej i zawsze pada pod kątem prostym. Wtedy z sumy kątów w trójkącie DBA wynika, że |∢𝐷𝐴𝐵| = 90°-𝛼. Na kąt|∢𝐵𝐴𝐶| składają się dwa kąty |∢𝐷𝐴𝐶|= 𝛼 i |∢𝐷𝐴𝐵| = 90°-𝛼, zatem |∢𝐵𝐴𝐶|= 90°-𝛼+𝛼 = 90°.

[janusz55]

Trójkąt \( ABC \) nie jest prostokatny, bo miara kąta \( A \) nie jest równa \( 90^{o}.\)
Nie spełnione jest równanie Pitagorasa.
\( 16^2 \neq 12^2 + 14^2, \)
\( 256 \neq 144 + 196 = 340.\)

Proszę wykonać konstrukcję trójkąta i się upewnić.