Uzasadnij że jest to równoległobok.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
attec18
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Uzasadnij że jest to równoległobok.

Post autor: attec18 » 22 lip 2022, 17:44

W czworokącie wypukłym połowa obwodu jest równa sumie odcinków łączących punkty środkowe przeciwległych boków. Uzasadnij że jest to równoległobok.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2370
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 31 razy
Otrzymane podziękowania: 1141 razy

Re: Uzasadnij że jest to równoległobok.

Post autor: Jerry » 23 lip 2022, 18:09

Lemat:
W \(\Delta ABC\), w którym \(|BC|=a,\, |AC|=b\) i środkowa \(|MC|=s\) zachodzi
\[s<\frac{a+b}{2}\]
D-d:
Niech \(C'=S_M(C)\) jak na rysunku
lemat.jpg
wtedy z nierówności trójkąta dla \(\Delta C'BC\) mamy \(2s<a+b\) co jest równoważne tezie lematu

Wniosek:
Nierówność przejdzie w równość, jeżeli trójkąt zdegeneruje się do odcinka, czyli \(\overline{BC} \parallel \overline{AC}\).

Załóżmy, że co najmniej jedna para boków przeciwległych nie jest równoległa. Wtedy
  1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
    001.jpg
    gdzie \(A_1ABM,\, D_1MCD\) są równoległobokami
  2. \(\Delta A_1AK\equiv\Delta KD_1D\, (BKB)\), zatem \(A_1,\, K,\, D_1\) są współliniowe i \(\overline{KM}\) jest środkową \(\Delta A_1MD_1\)
  3. z lematu: \(|KM|<\frac{|AB|+|CD|}{2}\)
  4. analogicznie: \(|LN|<\frac{|BC|+|DA|}{2}\)
  5. jeżeli zachodzi 3. lub 4., to
    \(|KM|+|LN|<\frac{|AB|+|BC|+|CD|+|DA|}{2}\),
    co jest sprzeczne z
    \(|KM|+|LM|=\frac{|AB|+|BC|+|CD|+|DA|}{2}\)
    Zatem założenie, że co najmniej jedna para boków przeciwległych nie jest równoległa jest fałszywe. CKD
Pozdrawiam
PS. Zadanie to przypomniało mi zadanie z OMa z lat siedemdziesiątych poprzedniego wieku, umieszczę go w innym wątku i dodam link

[edited] Obiecane zadanie, z którego wynika ponadprogramowo, że w tym zadaniu \(\overline{KM},\, \overline{LN}\) połowią się (do wykazania tezy zadania - wg mnie nieprzydatne!).
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

anilewe_MM
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 37
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 105 razy
Płeć:

Re: Uzasadnij że jest to równoległobok.

Post autor: anilewe_MM » 17 wrz 2022, 16:30

Ile zadań z geometrii trzeba rozwiązać, żeby widzieć takie rzeczy?