długość odcinka

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 150
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

długość odcinka

Post autor: inter » 23 lip 2022, 19:52

W trójkącie ABC, gdzie AB = 7, BC = 9 i CA = 10 oznaczmy środek okręgu wpisanego przez I. Okrąg ten jest styczny do BC, CA i AB odpowiednio w punktach D, E i F. Niech K będzie odbiciem punktu D przez I, a DE przetnie FK w punkcie S. Oblicz długość AS.

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2274
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1060 razy

Re: długość odcinka

Post autor: Jerry » 24 lip 2022, 15:52

W skrócie:
  1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami dotyczącymi kątów
    001 (3).jpg
  2. \(|AF|=4,\, |FB|=|BD|=3,\, |DC|=6\)
  3. \(13r=\sqrt{13\cdot6\cdot4\cdot3}\iff r={6\sqrt{26}\over13}\)
  4. \(\begin{cases}\tg\delta_1={3\over r}\\ \tg\delta_2={6\over r}\end{cases}\So\tg\delta=-\tg(\delta_1+\delta_2)={\sqrt{26}\over3}\)
  5. \(\tg\beta=\ctg\delta_1\So \begin{cases}\cos\beta={\sqrt{273}\over21}\\\sin\beta={2\sqrt{42}\over21}\end{cases}\)
  6. \(|FD|=2\cdot|BD|\cdot\sin\beta={4\sqrt{42}\over7}\)
  7. \(|SF|=|FD|\cdot\tg\delta={8\sqrt{273}\over21}\)
  8. \(|AS|=\sqrt{|AF|^2+|SF|^2-2\cdot|AF|\cdot|SF|\cdot\cos\beta}=4\)
Wniosek: \(\Delta AES\sim\Delta EDC\).
Gdyby szybko zauważyć, że \(\overline{SA}\parallel\overline{BC}\)...

Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .