długość odcinka

[inter]

W trójkącie ABC, gdzie AB = 7, BC = 9 i CA = 10 oznaczmy środek okręgu wpisanego przez I. Okrąg ten jest styczny do BC, CA i AB odpowiednio w punktach D, E i F. Niech K będzie odbiciem punktu D przez I, a DE przetnie FK w punkcie S. Oblicz długość AS.

[Jerry]

W skrócie:

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami dotyczącymi kątów

   

2. \(|AF|=4,\, |FB|=|BD|=3,\, |DC|=6\)
3. \(13r=\sqrt{13\cdot6\cdot4\cdot3}\iff r={6\sqrt{26}\over13}\)
4. \(\begin{cases}\tg\delta_1={3\over r}\\ \tg\delta_2={6\over r}\end{cases}\So\tg\delta=-\tg(\delta_1+\delta_2)={\sqrt{26}\over3}\)
5. \(\tg\beta=\ctg\delta_1\So \begin{cases}\cos\beta={\sqrt{273}\over21}\\\sin\beta={2\sqrt{42}\over21}\end{cases}\)
6. \(|FD|=2\cdot|BD|\cdot\sin\beta={4\sqrt{42}\over7}\)
7. \(|SF|=|FD|\cdot\tg\delta={8\sqrt{273}\over21}\)
8. \(|AS|=\sqrt{|AF|^2+|SF|^2-2\cdot|AF|\cdot|SF|\cdot\cos\beta}=4\)

Wniosek: \(\Delta AES\sim\Delta EDC\).
Gdyby szybko zauważyć, że \(\overline{SA}\parallel\overline{BC}\)...

Pozdrawiam