Wykaż, że w trapezie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
matematyka1234+
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 06 cze 2022, 15:03
Płeć:

Wykaż, że w trapezie

Post autor: matematyka1234+ » 08 cze 2022, 11:43

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2 + |CP|^2 − |CD|^2 = 4\sqrt{23} ⋅ |DP| ⋅ |CP|\).
Ostatnio zmieniony 08 cze 2022, 12:05 przez Jerry, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa tematu i wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]. Nie podpinaj się pod cudze wątki

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2274
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1060 razy

Re: Wykaż, że w trapezie

Post autor: Jerry » 08 cze 2022, 12:41

Zrób schludny rysunek, niech \(|AB|=a,\, r\) będzie promieniem okręgu opisanego na \(\Delta ABP\), \(|\angle APB|=|\angle APB|=\gamma\in(0;{\pi\over2})\). Wtedy
  1. \(\Delta ABP\sim\Delta PCD\, (kk)\)
    \({a\over r}={a-2\over r-3}\iff r={3\over2}a\)
  2. Z \(\Delta ABP\) i wzoru sinusów:
    \({a\over\sin\gamma}=2r\)
    Wobec 1. mamy
    \(\sin\gamma={1\over3}\)
  3. Z "wielkiej jedynki" trygonometrycznej
    \(\cos\gamma=+\sqrt{1-({1\over3})^2}={2\sqrt2\over3}\)
  4. Z \(\Delta PCD\) i wzoru cosinusów:
    \(|CD|^2=|CP|^2+|DP|^2-2\cdot{2\sqrt2\over3}\cdot |CP|\cdot|DP|\)
    jest sprzeczne z Twoją tezą :(
Pozdrawiam
PS. Nie podpinaj się pod cudze wątki i pisz "matematykę" w kodzie - nie będzie dochodziło do nieporozumień :idea:
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .