złoty podział
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
attec18
- Rozkręcam się
- Posty: 68
- Rejestracja: 30 mar 2020, 23:25
- Podziękowania: 11 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
złoty podział
Niech w-bedzie półokręgiem oraz D,E,F będą punktami styczności. Wykaż że stosunek AB/BE= \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Ostatnio zmieniony 04 maja 2021, 20:46 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa tytułu, pisz po polsku!
Powód: poprawa tytułu, pisz po polsku!
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3527
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1934 razy
Re: złoty podział
1) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku
2) Z \(\Delta CEQ,\ \Delta BCA\):
\( \begin{cases}\tg(\pi-2\alpha)=2\\ \tg\alpha={r\over x} \end{cases}
\So \\ \qquad \So -\frac{2\cdot{r\over x} }{1-({r\over x})^2}=2\\
x^2+rx-r^2=0\\
x={-1-\sqrt5\over2}r<0\vee x={-1+\sqrt5\over2}r \)
2) \(KQ=BE=R+{\sqrt5-1\over2}r\)
3) Z\(\Delta KQP\) i tw. Pitagorasa:
\((R-r)^2+KQ^2=(R+r)^2\\
KQ^2=4Rr\)
4) Z 3) i 2):
\((R+{\sqrt5-1\over2}r)^2=4Rr\\ \cdots\)
\((3-\sqrt5)k^2-2(5-\sqrt5)k+2=0\), gdzie \(k={r\over R}<1\)
\(\cdots\)
5) \({AB\over BE}={2R\over R+{\sqrt5-1\over2}r}={4\over 2+(\sqrt5-1)k}=\ldots\)
Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia i ... dokończenia - wynik znasz!
[edited] na rysunku powinno być \(PD=R\)
\( \begin{cases}\tg(\pi-2\alpha)=2\\ \tg\alpha={r\over x} \end{cases}
\So \\ \qquad \So -\frac{2\cdot{r\over x} }{1-({r\over x})^2}=2\\
x^2+rx-r^2=0\\
x={-1-\sqrt5\over2}r<0\vee x={-1+\sqrt5\over2}r \)
2) \(KQ=BE=R+{\sqrt5-1\over2}r\)
3) Z\(\Delta KQP\) i tw. Pitagorasa:
\((R-r)^2+KQ^2=(R+r)^2\\
KQ^2=4Rr\)
4) Z 3) i 2):
\((R+{\sqrt5-1\over2}r)^2=4Rr\\ \cdots\)
\((3-\sqrt5)k^2-2(5-\sqrt5)k+2=0\), gdzie \(k={r\over R}<1\)
\(\cdots\)
5) \({AB\over BE}={2R\over R+{\sqrt5-1\over2}r}={4\over 2+(\sqrt5-1)k}=\ldots\)
Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia i ... dokończenia - wynik znasz!
[edited] na rysunku powinno być \(PD=R\)