Wycinek kołowy

[LuckyLuck]

W wycinek kołowy o kącie środkowym \(2 \alpha\) wpisano koło. Oblicz stosunek pola tego wycinka do pola wpisanego weń koła.

[eresh]

W wycinek kołowy o kącie środkowym \(2 \alpha\) wpisano koło. Oblicz stosunek pola tego wycinka do pola wpisanego weń koła.

O- środek wycinka
S - środek koła
A - punkt styczności koła z promieniem wycinka
R - promień wycinka
r - promień koła

w trójkącie AOS:
\(\sin\alpha=\frac{|AS|}{|SO|}\\
\sin\alpha=\frac{r}{R-r}\\
R\sin\alpha-r\sin\alpha=r\\
R\sin\alpha=r(1+\sin\alpha)\\
R=\frac{r(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha}\)

\(\frac{P_{wycinka}}{P_{koła}}=\frac{\pi R^2\cdot\frac{2\alpha}{360^{\circ}}}{\pi r^2}\\
\frac{P_{wycinka}}{P_{koła}}=\frac{R^2}{r^2}\cdot\frac{\alpha}{180^{\circ}}\\
\frac{P_{wycinka}}{P_{koła}}=\frac{(1+\sin\alpha)^2}{\sin^2\alpha}\cdot\frac{\alpha}{180^{\circ}}\)

[radagast]

\( \frac{r}{R-r }=\sin \alpha \)
zatem
\( \frac{1}{ \frac{R}{r} -1} =\sin \alpha\)
\( \frac{R}{r}= \frac{1}{\sin \alpha} +1\)
\( \frac{ \frac{\pi R^2 2 \alpha }{360} }{\pi r^2}= \frac{ R^2 \alpha }{180r^2} =\frac{ \alpha }{180} (\frac{1}{\sin \alpha} +1)^2\)

[Jerry]

Zrób schludny rysunek, niech \(R\) będzie promieniem wycinka, \(r\) - promieniem wpisanego koła. Wtedy \({r\over R-r}=\sin\alpha\), czyli \(r={R\sin\alpha\over1+\sin\alpha}\). Pozostaje policzyć \(\frac{{2\alpha\over2\pi}\cdot\pi R^2}{\pi r^2}\)

Pozdrawiam

[korki_fizyka]

To jeszcze wypada schludnie zapisać wzór na to, co trzeba policzyć: \(\frac{\alpha}{\pi}\cdot (\frac{R} {r})^2\)