Wycinek kołowy

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LuckyLuck
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 03 lut 2019, 17:42
Podziękowania: 67 razy
Płeć:

Wycinek kołowy

Post autor: LuckyLuck » 22 lut 2021, 19:20

W wycinek kołowy o kącie środkowym \(2 \alpha\) wpisano koło. Oblicz stosunek pola tego wycinka do pola wpisanego weń koła.

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 15136
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 8972 razy
Płeć:

Re: Wycinek kołowy

Post autor: eresh » 22 lut 2021, 22:30

LuckyLuck pisze:
22 lut 2021, 19:20
W wycinek kołowy o kącie środkowym \(2 \alpha\) wpisano koło. Oblicz stosunek pola tego wycinka do pola wpisanego weń koła.
O- środek wycinka
S - środek koła
A - punkt styczności koła z promieniem wycinka
R - promień wycinka
r - promień koła

w trójkącie AOS:
\(\sin\alpha=\frac{|AS|}{|SO|}\\
\sin\alpha=\frac{r}{R-r}\\
R\sin\alpha-r\sin\alpha=r\\
R\sin\alpha=r(1+\sin\alpha)\\
R=\frac{r(1+\sin\alpha)}{\sin\alpha}\)


\(\frac{P_{wycinka}}{P_{koła}}=\frac{\pi R^2\cdot\frac{2\alpha}{360^{\circ}}}{\pi r^2}\\
\frac{P_{wycinka}}{P_{koła}}=\frac{R^2}{r^2}\cdot\frac{\alpha}{180^{\circ}}\\
\frac{P_{wycinka}}{P_{koła}}=\frac{(1+\sin\alpha)^2}{\sin^2\alpha}\cdot\frac{\alpha}{180^{\circ}}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍

radagast
Guru
Guru
Posty: 17183
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 35 razy
Otrzymane podziękowania: 7270 razy
Płeć:

Re: Wycinek kołowy

Post autor: radagast » 22 lut 2021, 22:30

ScreenHunter_004.jpg
\( \frac{r}{R-r }=\sin \alpha \)
zatem
\( \frac{1}{ \frac{R}{r} -1} =\sin \alpha\)
\( \frac{R}{r}= \frac{1}{\sin \alpha} +1\)
\( \frac{ \frac{\pi R^2 2 \alpha }{360} }{\pi r^2}= \frac{ R^2 \alpha }{180r^2} =\frac{ \alpha }{180} (\frac{1}{\sin \alpha} +1)^2\)
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 843
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 378 razy

Re: Wycinek kołowy

Post autor: Jerry » 22 lut 2021, 22:34

Zrób schludny rysunek, niech \(R\) będzie promieniem wycinka, \(r\) - promieniem wpisanego koła. Wtedy \({r\over R-r}=\sin\alpha\), czyli \(r={R\sin\alpha\over1+\sin\alpha}\). Pozostaje policzyć \(\frac{{2\alpha\over2\pi}\cdot\pi R^2}{\pi r^2}\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 5103
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 672 razy
Płeć:

Re: Wycinek kołowy

Post autor: korki_fizyka » 23 lut 2021, 09:11

To jeszcze wypada schludnie zapisać wzór na to, co trzeba policzyć: \(\frac{\alpha}{\pi}\cdot (\frac{R} {r})^2\) ;)
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl