Planimetria

[a_b_c_]

W trójkącie równobocznym ABC na boku BC obrano punkt D taki, że stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta ADC wynosi 2:5. Oblicz stosunek długości odcinka BD do długości odcinka CD.

Bardzo proszę o pomoc.

[irena]

a- bok trójkąta ABC
|CE|=H- wysokość trójkąta ABC
|DF|=h- wysokość trójkąta ABD opuszczona na podstawę AB

\(\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}aH}=\frac{2}{7}\\h=\frac{2}{7}H\)

Trójkąty BDF i BCE są podobne, więc
\(\frac{|BD|}{h}=\frac{|BC|}{H}\\\frac{|BC|}{h}=\frac{a}{H}\\|BD|=\frac{2}{7}a\\|CD|=a-\frac{2}{7}a=\frac{5}{7}a\)

\(|BD|:|CD|=\frac{2}{7}:\frac{5}{7}=2\ :\ 5\)

[a_b_c_]

Wydaje mi się, że w rozwiązanie wkradł się błąd. Na początku rozwiązywania stosunek pól trójkąta ABD do trójkąta ABC powinien wynosić chyba 2:7, a nie 2:5. Jednak zadanie zrozumiałam i bardzo dziękuję za pomoc.

[irena]

Tak, to zmęczenie. Zaraz poprawię. Przepraszam.

[irena]

Wiesz, co?
To można zrobić prościej.
Oba trójkąty mają wspólną wysokość opuszczoną na prostą BC z punktu A.
\(|BD|=x\\|CD|=y\\x+y=a\\\frac{\frac{1}{2}xh}{\frac{1}{2}yh}=\frac{2}{5}\\\frac{x}{y}=2\ :\ 5\)

[a_b_c_]

Może i rozwiązanie krótsze, ale dla mnie mniej zrozumiałe Jeszcze raz bardzo dziękuję za pomoc.

[awenecja]

Rozwiązanie Ireny jest bardzo dobre, problem polega na tym ,że trudno nam obracać rysunki, patrzymy na to co mamy równolegle do naszych oczu, tak kolokwialnie mówiąc.Irena zadanie rozwiązane po królewsku. Pozdrawiam wenecja