odcinek łączący środki przekątnych trapezu

[poetaopole]

Wykaż, że w trapezie niebędącym równoległobokiem odcinek łączący środki przekątnych trapezu jest równoległy do jego podstaw. Wydaje mi się, że jeżeli uda nam się jakoś pokazać, że przedłużenia tego odcinka przechodzą przez środki ramion tego trapezu, zadanie będzie trywialne, ale tego własnie pokazać nie potrafię.

[kerajs]

Środki wszystkich odcinków o końcach w obu podstawach trapezu (ramion, przekątnych , wysokości) leżą na jednej prostej:

Na prostej \( y=a \) wybieram dowolny punkt \( A=(A, a)\) , a na równoległej do niej \( y=b\) także dowolny punkt \( B=(B,b)\) . Środek odcinka AB ma współrzędne \( (\frac{A+B}{2}, \frac{a+b}{2} )\) czyli leży na prostej \( y=\frac{a+b}{2} \) niezależnie od wyboru punktów A i B.

[poetaopole]

a nie używając metod geometrii analitycznej?

[kerajs]

Dwie równoległe proste k, l przecinane są pod kątem alfa przez pewną prostą p w punktach A, B (na rysunku wskazujesz te cztery kąty alfa). Niech C będzie środkiem AB, a C' i C'' jego rzutami prostokątnymi na k i l. Skoro AC i BC są równe to trójkąty ACC' i BCC'' są przystające więc punkt C ( środek odcinka o końcach w dwóch prostych) zawsze będzie leżał na prostej równoległej i równooddalonej od k i l (bo CC'=CC''),

[poetaopole]

Narysowałem to, co zaproponowałeś, żeby zrozumieć Twój dowód...

[poetaopole]

Wynika z niego, że C jest środkiem wysokości trapezu, prawda? ale jak to ma się do tego, co ja próbuję bezskutecznie udowodnić?

[kerajs]

Kąt alfa jest dowolny, a nie tylko prosty, więc rysunek musisz zmienić.

Ponadto napisałem wcześniej:

Środki wszystkich odcinków o końcach w obu podstawach trapezu (ramion, przekątnych , wysokości) leżą na jednej prostej:

więc nie tylko środek wysokości tam leży.

[anka]

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=13348