Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
radagast
Guru
Guru
Posty: 17036
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7190 razy
Płeć:

Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu

Post autor: radagast » 07 lip 2020, 09:20

Dany jest kwadrat ABCD. Wewnątrz tego kwadratu wybrano taki punkt E, że trójkąt ABE jest równoboczny. Na odcinku AB wybrano taki punkt P, że ∡APE=∡BPC=α . Wyznacz α.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1937
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 832 razy
Płeć:

Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu

Post autor: kerajs » 07 lip 2020, 13:49

Przyjmę, iż bok kwadratu wynosi 2a, a E' to rzut E na AB
\(\tg \alpha = \frac{|EE'|}{x} = \frac{|BC|}{ |CE'| -x} \\
\tg \alpha = \frac{a \sqrt{3} }{x} = \frac{2a}{a-x} \\
x= \frac{a \sqrt{3} }{2+ \sqrt{3} } \\
\alpha =\arctg (2+ \sqrt{3} ) =75^\circ
\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 17036
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7190 razy
Płeć:

Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu

Post autor: radagast » 07 lip 2020, 14:04

Dzięki, a dałbyś radę metodami gimnazjalnymi (bez trygonometrii) . To zadanie pochodzi z egzaminu do t. zw. MATEX-u z ubiegłego roku. Na pewno się da :)
Jakby tak pokazać , że trójkąt CEP jest 30,60,90...

radagast
Guru
Guru
Posty: 17036
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7190 razy
Płeć:

Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu

Post autor: radagast » 07 lip 2020, 18:07

Wymyśliłam !! Pochwalę się :
ScreenHunter_324.jpg
Dorysujmy drugi kwadrat (jak na rysunku powyżej i zauważmy ,że \(D_1C_1CD\) jest trapezem równoramiennym, a więc mozna na nim opisać okrąg. W dodatku środek tego okręgu to punkt B (bo BC=BE=BA=...=a).
Trójkąt CEB jest równoramienny i ma kąty 30,75,75
zatem kąt \(EC_1C\) ma 15 stopni czyli kąt \(E_1CC_1\) również ma 15 stopni (bo \(PC_1C\) równoramienny)
No to kąt QPC ma 15 stopni (jako naprzemianległy)
No to kąt QPE ma 15 stopni (bo tak jak kąt QPC dopełnia do 90 stopni kąt alfa)
No to kąt EPC ma 30 stopni
No to kąt alfa ma \( \frac{180-30}{2}=75 \) stopni
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.