Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu
Dany jest kwadrat ABCD. Wewnątrz tego kwadratu wybrano taki punkt E, że trójkąt ABE jest równoboczny. Na odcinku AB wybrano taki punkt P, że ∡APE=∡BPC=α . Wyznacz α.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu
Przyjmę, iż bok kwadratu wynosi 2a, a E' to rzut E na AB
\(\tg \alpha = \frac{|EE'|}{x} = \frac{|BC|}{ |CE'| -x} \\
\tg \alpha = \frac{a \sqrt{3} }{x} = \frac{2a}{a-x} \\
x= \frac{a \sqrt{3} }{2+ \sqrt{3} } \\
\alpha =\arctg (2+ \sqrt{3} ) =75^\circ
\)
\(\tg \alpha = \frac{|EE'|}{x} = \frac{|BC|}{ |CE'| -x} \\
\tg \alpha = \frac{a \sqrt{3} }{x} = \frac{2a}{a-x} \\
x= \frac{a \sqrt{3} }{2+ \sqrt{3} } \\
\alpha =\arctg (2+ \sqrt{3} ) =75^\circ
\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu
Dzięki, a dałbyś radę metodami gimnazjalnymi (bez trygonometrii) . To zadanie pochodzi z egzaminu do t. zw. MATEX-u z ubiegłego roku. Na pewno się da
Jakby tak pokazać , że trójkąt CEP jest 30,60,90...
Jakby tak pokazać , że trójkąt CEP jest 30,60,90...
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu
Wymyśliłam !! Pochwalę się :\(D_1C_1CD\) jest trapezem równoramiennym, a więc mozna na nim opisać okrąg. W dodatku środek tego okręgu to punkt B (bo BC=BE=BA=...=a).
Trójkąt CEB jest równoramienny i ma kąty 30,75,75
zatem kąt \(EC_1C\) ma 15 stopni czyli kąt \(E_1CC_1\) również ma 15 stopni (bo \(PC_1C\) równoramienny)
No to kąt QPC ma 15 stopni (jako naprzemianległy)
No to kąt QPE ma 15 stopni (bo tak jak kąt QPC dopełnia do 90 stopni kąt alfa)
No to kąt EPC ma 30 stopni
No to kąt alfa ma \( \frac{180-30}{2}=75 \) stopni
Dorysujmy drugi kwadrat (jak na rysunku powyżej i zauważmy ,że Trójkąt CEB jest równoramienny i ma kąty 30,75,75
zatem kąt \(EC_1C\) ma 15 stopni czyli kąt \(E_1CC_1\) również ma 15 stopni (bo \(PC_1C\) równoramienny)
No to kąt QPC ma 15 stopni (jako naprzemianległy)
No to kąt QPE ma 15 stopni (bo tak jak kąt QPC dopełnia do 90 stopni kąt alfa)
No to kąt EPC ma 30 stopni
No to kąt alfa ma \( \frac{180-30}{2}=75 \) stopni
Re: Trójkąt równoboczny wewnątrz kwadratu
W drugiej linijce pomylone jest CC1 powinno być EE1.
Oprócz tego super.
Oprócz tego super.