Zadanie z trójkątem równoramiennym

[mito3]

W trójkącie równoramiennym ramie ma długość \(6\), a kąt przy podstawie trójkąta ma miarę \(30^\circ\).
a) Oblicz długość okręgu opisanego na tym trójkącie.
b) Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

[korki_fizyka]

Skoro równoramienny, to jaki kąt jest w wierzchołku?

[eresh]

h - wysokość
a - podstawa

\(2h=6\\
h=3\\
0,5a=h\sqrt{3}\\
0,5a=3\sqrt{3}\\
a=6\sqrt{3}\)

\(P=\frac{1}{2}ah\\
P=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 3=9\sqrt{3}\)

a)
\(P=\frac{abc}{4R}\\
9\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}\cdot 6\cdot 6}{4R}\\
36\sqrt{3}R=216\sqrt{3}\\
R=6\\
L=2\pi\cdot 6\\
L=12\pi\)

można też z twierdzenia sinusów:
\(\frac{6}{\sin 30^{\circ}}=2R\\
\frac{6}{0,5}=2R\\
R=6\)

b)
\(P=\frac{1}{2}(a+b+c)r\\
9\sqrt{3}=\frac{1}{2}(6+6+6\sqrt{3})r\\
9\sqrt{3}=(6+3\sqrt{3})r\\
r=\frac{9\sqrt{3}}{3(2+\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3}=6\sqrt{3}-9\)