Matura 1920r.

[Jerry]

Zadanie 1
Żelazna kula wydrążona o ciężarze \(30\) kg zanurza się w wodzie do polowy. Obliczyć grubość ściany kuli przyjmując ciężar właściwy żelaza \(s = 7,7\).

Zadanie 2
Suma sześciu pierwszych wyrazów postępu* geometrycznego jest \(189\), a suma następnych sześciu \(12096\). Jaki to postęp?

Zadanie 3
Rozwiązać równania: \(5\sin x + 3\sin y = 4\) i \(3(5\sin x) – 2(3\sin y) = 5\).

Zadanie 4
Przez punkty: \(A(0, 0), B(4, 0)\) i \(C(2, 1)\) przeprowadzić koło (napisać jego równanie) a następnie obliczyć kąt, jaki tworzą ze sobą styczne poprowadzone w punktach \(A\) i \(B\).

Pozdrawiam
___
* postęp nazywamy dziś ciągiem

[kerajs]

Zadanie 1
Dane: \(Q=30 \ kg\\
\rho_{Fe}=7,7 \\ \rho_{H_2O}=1
\).
Szukane: d (grubość ściany kuli: \(d=R_z-R_w\) )
a)
\(Q=F_{wyporu}\\
Q=m_{wypartej \ wody }g\\
Q=\rho_{H_2O}V_{wypartej \ wody }g \\
Q=\rho_{H_2O} \frac{1}{2} \frac{4}{3} \pi R_z^3 g\\
R_z= \sqrt[3]{ \frac{3Q}{2\pi \rho_{H_2O}g} } \)
b)
\(Q=( \frac{4}{3} \pi R_z^3-\frac{4}{3} \pi R_w^3) \rho_{Fe}g\\
R_w= \sqrt[3]{R_z^3- \frac{3Q}{4\pi \rho_{Fe}g} } \\
R_w=\sqrt[3]{\frac{3Q}{2\pi \rho_{H_2O}g}- \frac{3Q}{4\pi \rho_{Fe}g} } \)
c)
\(d=R_z-R_w=...\)

Zadanie 2
\(q^6= \frac{12096}{189}=64=2^6=(-2)^6\\
(q=2 \ \ \wedge \ \ a_1= \frac{189(2-1)}{2^6-1} ) \ \ \vee \ \ (Q=-2 \ \ \wedge \ \ b_1= \frac{189(-2-1)}{(-2)^6-1} ) \)

Zadanie 3
\( \begin{cases} 5\sin x= \frac{13}{5} \\ 3 \sin y= \frac{7}{5} \end{cases} \\
\begin{cases} x= \arcsin \frac{13}{25}+k2\pi \ \ \vee \ \ x=\pi - \arcsin \frac{13}{25}+k2\pi \\ x= \arcsin \frac{7}{15}+k2\pi \ \ \vee \ \ x=\pi - \arcsin \frac{7}{15}+k2\pi \end{cases}\)

Zadanie 4
C leży na symetralnej AB (podobnie jak D=(2,0)) więc O=(2,q).
\(|AO|^2=|AD|^2+|DO|^2\\
r^2=2^2+(r-1)^2\\
r= \frac{5}{2} \)
więc \(O=(2, \frac{-3}{2} )\) , a równanie koła (choć w zadaniu raczej chodzi o okrąg) ma postać: \((x-2)^2+(y+\frac{3}{2})^2 \le (\frac{5}{2})^2\)
Kąt między stycznymi jest taki sam (lub jest dopełnieniem do kąta półpełnego) jak kąt AOB.
Ponieważ trójkąt ADB jest podobny do trójkąta egipskiego to:
\(\phi=2\arcsin \frac{4}{5} \)

[Jerry]

I to wszystko trzeba było doliczyć, bez kalkulatora... chociaż z tablicami!

Pozdrawiam

[kerajs]

Tu są tylko trzy kąty do odczytania z tablic, więc jak jakieś dokładniejsze tablice odgrzebię, to dopiszę odpowiednie kąty.
Nie wiem jak byłoby ocenione zadanie 1. bez podania wartości liczbowych. Tu faktycznie jest trochę liczenia, ale i w nim pomocne będą tablice.

PS
Kiedyś też wstawiłem kilka zadań ze starych matur (
https://matematyka.pl/matura-i-rekrutac ... l#p5413131 ) lecz nie było chętnych do ich rozwiązywania.