Dowód 2018 zad.8

[zadaniainfomm]

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 6

Ps. Co za składnik można dodać i odjąć, żeby zobaczyć iloczyn kolejnych liczb całkowitych?

[eresh]

\(k^3m-km^3=km(k^2-m^2)=km(k-m)(k+m)\)

\(k^3m-km^3\) jest parzysta bo:
jeśli jedna z liczb k lub m jest parzysta to \(k^3m-km^3\) jest parzysta
jeśli żadna z liczb nie jest parzysta to k+m jest parzysta, więc \(k^3m-km^3\) jest parzysta

pozostaje udowodnić podzielność przez 3
jeśli jedna z liczb jest podzielna przez 3, to \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3
jeśli \(k=3x+1\) i \(m=3y+1\), to k-m dzieli się przez 3, więc \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3
jeśli \(k=3x+2\) i \(m=3y+1\), to k+m dzieli się przez 3, więc \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3
jeśli \(k=3x+2\) i \(m=3y+2\), to k-m dzieli się przez 3, więc \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3

[zadaniainfomm]

Widziałem bardzo szybki sposób, Ten znam

[eresh]

Widziałem bardzo szybki sposób, Ten znam

szkoda że wcześniej nie napisałeś że ten sposób znasz, nie traciłabym czasu

[radagast]

Ten szybki jest taki:
\(k^3m-km^3=km(k^2-m^2)= km(k^2-1+1-m^2)=km(k^2-1)-km(m^2-1)=\\
mk(k-1)(k+1)-km(m-1)(m+1)\)
oba iloczyny \(mk(k-1)(k+1),km(m-1)(m+1)\) zawierają czynniki będące trzema kolejnymi liczbami całkowitymi , oba są więc podzielne przez 6, no to ich różnica też

[zadaniainfomm]

O to mi chodziło. Dzięki