Dowód 2018 zad.8

O wszystkim, co jest związane z maturą, linki do zadań, komentarze i inne przemyślenia.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
zadaniainfomm
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 178
Rejestracja: 27 kwie 2009, 21:20
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Dowód 2018 zad.8

Post autor: zadaniainfomm » 07 lut 2019, 12:39

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 6

Ps. Co za składnik można dodać i odjąć, żeby zobaczyć iloczyn kolejnych liczb całkowitych?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 07 lut 2019, 13:06

\(k^3m-km^3=km(k^2-m^2)=km(k-m)(k+m)\)

\(k^3m-km^3\) jest parzysta bo:
jeśli jedna z liczb k lub m jest parzysta to \(k^3m-km^3\) jest parzysta
jeśli żadna z liczb nie jest parzysta to k+m jest parzysta, więc \(k^3m-km^3\) jest parzysta

pozostaje udowodnić podzielność przez 3
jeśli jedna z liczb jest podzielna przez 3, to \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3
jeśli \(k=3x+1\) i \(m=3y+1\), to k-m dzieli się przez 3, więc \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3
jeśli \(k=3x+2\) i \(m=3y+1\), to k+m dzieli się przez 3, więc \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3
jeśli \(k=3x+2\) i \(m=3y+2\), to k-m dzieli się przez 3, więc \(k^3m-km^3\) jest podzielna przez 3

Awatar użytkownika
zadaniainfomm
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 178
Rejestracja: 27 kwie 2009, 21:20
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Post autor: zadaniainfomm » 07 lut 2019, 13:20

Widziałem bardzo szybki sposób, Ten znam

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re:

Post autor: eresh » 07 lut 2019, 13:22

zadaniainfomm pisze:Widziałem bardzo szybki sposób, Ten znam
szkoda że wcześniej nie napisałeś że ten sposób znasz, nie traciłabym czasu

radagast
Guru
Guru
Posty: 16687
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7044 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 09 lut 2019, 17:07

Ten szybki jest taki:
\(k^3m-km^3=km(k^2-m^2)= km(k^2-1+1-m^2)=km(k^2-1)-km(m^2-1)=\\
mk(k-1)(k+1)-km(m-1)(m+1)\)

oba iloczyny \(mk(k-1)(k+1),km(m-1)(m+1)\) zawierają czynniki będące trzema kolejnymi liczbami całkowitymi , oba są więc podzielne przez 6, no to ich różnica też :)

Awatar użytkownika
zadaniainfomm
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 178
Rejestracja: 27 kwie 2009, 21:20
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Post autor: zadaniainfomm » 10 lut 2019, 00:50

O to mi chodziło. Dzięki