Uzasadnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b takich, że \(a+b<ab\) prawdziwa jest
nierówność \(a+b>4\) .Proszę o pomoc .
Zadanie dowodowe z matury-matematyka roz.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Zadanie dowodowe z matury-matematyka roz.
dla \(a,b \in R\) jest \(\\) \((a+b)^2 \ge 4ab\) \(\\) bo \(\\) \((a-b)^2 \ge 0\)
...........................................................................................................
dalej \(\\) \(a \cdot b >a+b >0\) \(\\) \(\\)z założenia , podnosimy obustronnie do kwadratu i nierówność się zachowuje bo obie strony są dodatnie
\((a \cdot b)^2 > (a+ b)^2\) \(\\) i \(\\) \((a+b)^2 \ge 4ab\) \(\\) stąd
\((a \cdot b)^2 > 4ab\) \(\\) i stąd \(\\) \(a \cdot b >4\) i dalej
\((a+b)^2 \ge 4ab\) \(\\) i \(\\) \(4a \cdot b >16\)
\((a+b)^2 >16\)
\(a+b>4\) \(\\) bo\(\\) \(a+b>0\) .
...........................................................................................................
dalej \(\\) \(a \cdot b >a+b >0\) \(\\) \(\\)z założenia , podnosimy obustronnie do kwadratu i nierówność się zachowuje bo obie strony są dodatnie
\((a \cdot b)^2 > (a+ b)^2\) \(\\) i \(\\) \((a+b)^2 \ge 4ab\) \(\\) stąd
\((a \cdot b)^2 > 4ab\) \(\\) i stąd \(\\) \(a \cdot b >4\) i dalej
\((a+b)^2 \ge 4ab\) \(\\) i \(\\) \(4a \cdot b >16\)
\((a+b)^2 >16\)
\(a+b>4\) \(\\) bo\(\\) \(a+b>0\) .