Planimetria - dowód Extra

[zadaniainfomm]

zadanie.jpg (24.66 KiB) Przejrzano 2696 razy

Dzięki za pomoc

[radagast]

Luki \(AB\) i \(AC\) są równe zatem \(|\angle BEA|=|\angle CEA|\).

ScreenHunter_1619.jpg (10.57 KiB) Przejrzano 2683 razy

Kąty \(ABC\) i \(AEC\) są oparte na tym samym łuku, mają więc jednakową miarę .
No to \(|\angle BEA|=|\angle ABC|\).

ScreenHunter_1621.jpg (10.81 KiB) Przejrzano 2683 razy

Kąty \(BAD\) i \(BED\) są oparte na tym samym łuku, mają więc jednakową miarę .

ScreenHunter_1622.jpg (10.72 KiB) Przejrzano 2683 razy

Mamy więc
\(|\angle BEA|=|\angle ABC|\)
\(|\angle BED|=|\angle BAD|\)
a po dodaniu stronami:
\(|\angle AED|=|\angle BAD|+|\angle ABC|\)

ScreenHunter_1623.jpg (11.42 KiB) Przejrzano 2677 razy

Teraz popatrzmy na trójkąt \(BB_1A\) i zauważmy, że \(| \angle BB_1A|=180- \left(|\angle BAD|+|\angle ABC| \right)\),
a ponieważ \(| \angle DB_1C|=| \angle BB_1A|=180-\left(|\angle BAD|+|\angle ABC| \right)\)(bo to kąty wierzchołkowe)
No to \(|\angle AED|+| \angle DB_1C|=180\)
co jest warunkiem koniecznym i wystarczającym opisywalności okręgu na czworokącie \(DEC_1B_1\)

[zadaniainfomm]

Fakt. Fajny dowód. Dzięki