Poziom podstawowy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
zadaniainfomm
- Często tu bywam
- Posty: 209
- Rejestracja: 27 kwie 2009, 21:20
- Podziękowania: 12 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Poziom podstawowy
Dany jest trójkąt równoramienny o polu 12 pierwiastków z trzech oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt 2. Oblicz boki tego trójkąta. (Oczywiście prostym sposobem, bez równania wielomianowego 3-go stopnia). Dziękuję
-
michal486
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 wrz 2016, 11:25
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 14 razy
- Płeć:
Pole trójkąta opisanego na okręgu można zapisać wzorem
\(P = \frac{1}{2}r \cdot (a+b+c)\)
gdzie a,b,c to boki trójkąta, r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Przekształcając ten wzór, otrzymujemy :
\(a+b+c = \frac{2P}{r}\)
Z danych zadania wynika, że P = \(12\sqrt{3}\), r = \(2\)
Zatem
\(a+b+c = \frac{24 \sqrt{3} }{2}\)
\(a+b+c = 12\sqrt{3}\)
\(P = \frac{1}{2}r \cdot (a+b+c)\)
gdzie a,b,c to boki trójkąta, r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Przekształcając ten wzór, otrzymujemy :
\(a+b+c = \frac{2P}{r}\)
Z danych zadania wynika, że P = \(12\sqrt{3}\), r = \(2\)
Zatem
\(a+b+c = \frac{24 \sqrt{3} }{2}\)
\(a+b+c = 12\sqrt{3}\)
-
michal486
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 wrz 2016, 11:25
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 14 razy
- Płeć:
Wiedząc, że jest on równoramienny, niech \(a\) będzie podstawą, \(b\) i \(c\) ramionami tego trójkąta,
zatem \(b = c\).
\(a + 2c = 12 \sqrt{3}\)
Ze wzoru na pole trójkąta (\(P = \frac{1}{2} a h)\) wyznaczmy wysokość \(h\)
\(h = \frac{2P}{a}\)
A teraz z twierdzenia Pitagorasa
\(h^2 + (\frac{1}{2}a)^2\) = \(c^2\)
\((\frac{2P}{a})^2 + \frac{1}{4}a^2 = c^2\)
Zatem pozostaje rozwiązać układ równań :
\(\begin{cases}
a + 2c = 12 \sqrt{3}\\
(\frac{2P}{a})^2 + \frac{1}{4}a^2 = c^2
\end{cases}\)
zatem \(b = c\).
\(a + 2c = 12 \sqrt{3}\)
Ze wzoru na pole trójkąta (\(P = \frac{1}{2} a h)\) wyznaczmy wysokość \(h\)
\(h = \frac{2P}{a}\)
A teraz z twierdzenia Pitagorasa
\(h^2 + (\frac{1}{2}a)^2\) = \(c^2\)
\((\frac{2P}{a})^2 + \frac{1}{4}a^2 = c^2\)
Zatem pozostaje rozwiązać układ równań :
\(\begin{cases}
a + 2c = 12 \sqrt{3}\\
(\frac{2P}{a})^2 + \frac{1}{4}a^2 = c^2
\end{cases}\)
-
zadaniainfomm
- Często tu bywam
- Posty: 209
- Rejestracja: 27 kwie 2009, 21:20
- Podziękowania: 12 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re:
Ale to nic nie da 
michal486 pisze:Pole trójkąta opisanego na okręgu można zapisać wzorem
\(P = \frac{1}{2}r \cdot (a+b+c)\)
gdzie a,b,c to boki trójkąta, r to promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Przekształcając ten wzór, otrzymujemy :
\(a+b+c = \frac{2P}{r}\)
Z danych zadania wynika, że P = \(12\sqrt{3}\), r = \(2\)
Zatem
\(a+b+c = \frac{24 \sqrt{3} }{2}\)
\(a+b+c = 12\sqrt{3}\)
-
zadaniainfomm
- Często tu bywam
- Posty: 209
- Rejestracja: 27 kwie 2009, 21:20
- Podziękowania: 12 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Re:
To tez wyjdzie poza poziom podstawowy ...
michal486 pisze:Wiedząc, że jest on równoramienny, niech \(a\) będzie podstawą, \(b\) i \(c\) ramionami tego trójkąta,
zatem \(b = c\).
\(a + 2c = 12 \sqrt{3}\)
Ze wzoru na pole trójkąta (\(P = \frac{1}{2} a h)\) wyznaczmy wysokość \(h\)
\(h = \frac{2P}{a}\)
A teraz z twierdzenia Pitagorasa
\(h^2 + (\frac{1}{2}a)^2\) = \(c^2\)
\((\frac{2P}{a})^2 + \frac{1}{4}a^2 = c^2\)
Zatem pozostaje rozwiązać układ równań :
\(\begin{cases}
a + 2c = 12 \sqrt{3}\\
(\frac{2P}{a})^2 + \frac{1}{4}a^2 = c^2
\end{cases}\)