Dwusieczna kąta wewnętrznego

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Robakks »

Przypuśćmy że mamy dane współrzędne wierzchołków trójkąta ABC

1. Piszemy równania prostych w których zawierają się ramiona kąta
2. Na jednym z ramion kąta obieramy sobie punkt D
3. Piszemy równanie okręgu o środku w punkcie A i promieniu AD
4. Punkt E to przecięcie okręgu z prostą zawierającą drugie ramię kąta
(to ramię na którym nie leży punkt D)
5. Piszemy równanie prostej przechodzącej przez punkty D oraz E
6. W zależności od wyboru punktu E z układu równań w kroku 4.
piszemy równanie prostej prostopadłej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt A
piszemy równanie prostej równoległej do prostej DE oraz przechodzącej przez punkt A


A teraz pytania

1. Z układu równań w kroku 4. dostajemy dwa punkty E
Dla jakiego punktu E należy w kroku 6. poprowadzić prostą prostopadłą
a dla jakiego punktu E należy w kroku 6. poprowadzić prostą równoległą
Jaki jest warunek na wybór punktu ?
2. Uzasadnić poprawność powyższego sposobu

Miałbym jeszcze jedno pytanie ale najpierw chciałbym abyście odpowiedzieli na powyższe pytania
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3461
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Jerry »

Punkt \(D\) zaznaczyłem na boku \(\overline{AB}\). Jeśli wybierzesz punkt \(E\) z półprostej \(AC\vec{ }\), to piszesz równanie prostopadłej, jeśli wybierzesz punkt \(E\) z drugiej półprostej - równoległej. Uzasadnienie najprościej z rysunku!

Pozdrawiam
PS. Istnieją mniej udziwnione metody wskazania równania dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, np. korzystając z wektorów :idea:
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Robakks »

1. Tak by było ale gdybyśmy chcieli napisać program to trzeba by było jakoś inaczej zapisać warunek na wybór punktu E
2. Można by narysować kilka trójkątów i wtedy na rysunku byłoby widać
ale czy z kilku narysowanych trójkątów można wnioskować że tak będzie zawsze
a tak poza tym da się opisać słownie dlaczego sposób jest poprawny oczywiście powołując się na odpowiednie twierdzenia

Trzecie pytanie byłoby związane z uproszczeniem rozwiązania układu równań dwusiecznych np kąta A oraz kąta B

No tak tyle że jeżeli chcesz konstruować dwusieczną to musisz korzystać z tych "udziwnionych sposobów"
no chyba że wymyśliłeś inny sposób
Ja powyższy sposób na równanie dwusiecznej wyprowadziłem znając jedynie jej konstrukcję
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3461
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Jerry »

Robakks pisze: 06 maja 2022, 20:05 ... gdybyśmy chcieli napisać program ...
To moglibyśmy:
  1. Zastrugać wektory \(\vec{AB},\vec{AC}\)
  2. Zwersorować je: \(\begin{cases}\vec c={1\over|\vec{AB}|}\cdot\vec{AB}\\\vec b={1\over|\vec{AC}|}\cdot\vec{AC}\end{cases}\), czyli \(|\vec c|=1=|\vec b|\)
  3. Wektor \(\vec v=\vec c+\vec b\) jest wektorem rozpinającym szukaną dwusieczną, czyli (w postaci parametrycznrj) \(d_A:\begin{cases}x=x_A+t\cdot x_{\vec v}\\y=y_A+t\cdot y_{\vec v}\end{cases}\wedge t\in\rr\)
  4. Przejście w postać ogólną / kierunkową (o ile istnieje) jest tylko formalnością
Pozdrawiam
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Robakks »

Co do sposobu przedstawionego w pierwszym wpisie to istnieje warunek na wybór punktu E bez wprowadzania pojęcia półprostej
To co podałeś może i jest prawdziwe ale także i bezużyteczne

Poza tym przypominasz mi jednego kolesia co ostatnio prowadził transmisje z rozwiązywania arkuszy maturalnych
Chwalił się że napisał program którego częścią było rysowanie okręgu wpisanego w trójkąt i
do tego potrzebował równania dwusiecznej
Zapytałem go wtedy o sposób który wyprowadziłem z konstrukcji dwusiecznej ale koleś miał chyba problemy
z czytaniem bo pominął to że sposób pochodzi z konstrukcji
Niby napisał wzór na iloczyn skalarny ale nie podał jak go wykorzystać
Po zakończeniu transmisji podał ten sposób co ty tylko że przedstawił go nieco dokładniej
a i podał jak dostać postać ogólną
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3461
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Jerry »

Robakks pisze: 07 maja 2022, 07:25 To co podałeś może i jest prawdziwe ale także i bezużyteczne
Primo: jest prawdziwe,
secundo: analitycznie - najlepsze,
tertio: wykorzystuje elementarne fakty,
quarto: przenoszę do "informatyka".

Pozdrawiam
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Robakks »

Tak to jak byś ten warunek z półprostymi zapisał w kodzie ?
Masz do dyspozycji współrzędne wierzchołków trójkąta za pomocą których można też stosunkowo łatwo
wyrazić współczynniki równania prostej zawierającej boki trójkąta
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3461
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Jerry »

Na pewno \(\vec{AE}=k\cdot\vec{AC}\). Jeśli \(k>0\), to \(E\in AC\vec{} \)
Robakks pisze: 07 maja 2022, 13:42 Tak to jak byś ten warunek z półprostymi zapisał w kodzie ?
Przykro mi, nie jestem kodopisem. Może jakiś informatyk się odezwie...

Pozdrawiam
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Dwusieczna kąta wewnętrznego

Post autor: Robakks »

No to napiszę ci co mogłoby być użyteczne
Punkty \(A\) , \(C\) , \(E\) oraz \(E'\) leżą na tej samej prostej
więc odcinki \(AC\) oraz \(AE\) mogą tworzyć albo kąt zerowy albo kąt półpełny
Iloczyn skalarny pozwoliłby stwierdzić jaki otrzymamy kąt co daje nam nierówność

\(\left(x_{E} - x_{A}\right)\left(x_{C} - x_{A}\right)+\left(y_{E} - y_{A}\right)\left(y_{C} - y_{A}\right) > 0\)

Jeżeli współrzędne punktu \(E\) spełniałyby tą nierówność to w kroku 6. prowadzimy prostą prostopadłą

Jak się teraz przyjrzałem temu co ostatnio napisałeś to można by to wykorzystać
ODPOWIEDZ