Całkowanie funkcji wymiernych - program

[Robakks]

Można by spróbować napisać program do całkowania funkcji wymiernych mając napisane funkcje do obsługi wielomianu


Funkcje wielomianu które będą potrzebne

dodawanie , odejmowanie
mnożenie, dzielenie z resztą
NWD (algorytm Euklidesa)
pierwiastki bądź rozkład na czynniki co najwyżej kwadratowe (musimy zadowolić się metodami numerycznymi)

Dodatkowo przydatna będzie funkcja rozwiązująca układ równań liniowych
(Tutaj mamy kilka metod np metoda Cramera, eliminacja Gaußa, metody macierzowe - macierz odwrotna, rozkłady macierzy np LU)

Schemat z którego będziemy chcieli skorzystać jest następujący

1.
Jeżeli \(\deg L \left(x \right) \ge \deg M \left(x \right)\)
dzielimy licznik przez mianownik

2.
Jeżeli \(\gcd \left(M \left( x\right),M' \left( x\right) \right) \neq const\)
stosujemy metodę Ostrogradskiego
\(\int{\frac{L \left(x \right) }{M \left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{L_{1} \left(x \right)}{M_{1} \left( x\right) }+\int{\frac{L_{2} \left( x\right) }{M_{2} \left(x \right) }\mbox{d}x}\\
M_{1} \left( x\right)=\gcd \left(M \left( x\right),M' \left( x\right) \right)\\
M \left(x \right)=M_{1} \left( x\right)M_{2} \left( x\right)\)

Liczniki \(L_{1} \left( x\right)\) oraz \(L_{2} \left( x\right)\) znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych

3.
Stosujemy rozkład na sumę ułamków prostych
Teraz rozkład mamy łatwiejszy bo mianownik nie ma pierwiastków wielokrotnych

[korki_fizyka]

Myślę, że to już dawno zrobiono vide np. wolfram.

[Robakks]

Współczynniki nieznaczone z metody Ostrogradskiego jak i rozkład na sumę ułamków prostych
dają układ równań liniowych , jak otrzymać macierz współczynników układu
Gdy będziemy musieli skorzystac z rozkładu na sumę ułamków prostych to
jak później oddzielić logarytmy od arcusów tangensów