Nierówność w rzeczywistych nieujemnych z warunkiem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Nierówność w rzeczywistych nieujemnych z warunkiem
Ud., ze jeż. x+y+z=1i x,y,z są liczbami rzeczywistymi nieujemnymi, to yz+zx+xy-2xyz =< 7/27
\(4xy+4yz+4zx-8xyz \leq \frac{28}{27}\\
1-2x-2y-2z+4xy+4yz+4zx-8xyz \leq \frac{1}{27}\\
(1-2x)(1-2y)(1-2z) \leq \frac{1}{27}\)
I. Gdy np. \(x > \frac{1}{2}\ to\ y,\ z < \frac{1}{2}\), wtedy lewa strona nierówności jest ujemna i teza jest spełniona.
II. Gdy \(x,y,z \leq \frac{1}{2}\) mamy z AM-GM:
\((1-2x)(1-2y)(1-2z) \leq \left( \frac{1-2x+1-2y+1-2z}{3} \right)^3= \frac{1}{27}\)
źródło:http://matematyka.pl/75905.htm
1-2x-2y-2z+4xy+4yz+4zx-8xyz \leq \frac{1}{27}\\
(1-2x)(1-2y)(1-2z) \leq \frac{1}{27}\)
I. Gdy np. \(x > \frac{1}{2}\ to\ y,\ z < \frac{1}{2}\), wtedy lewa strona nierówności jest ujemna i teza jest spełniona.
II. Gdy \(x,y,z \leq \frac{1}{2}\) mamy z AM-GM:
\((1-2x)(1-2y)(1-2z) \leq \left( \frac{1-2x+1-2y+1-2z}{3} \right)^3= \frac{1}{27}\)
źródło:http://matematyka.pl/75905.htm