trygonometria równanie z parametrem

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jakub2001
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 14 sie 2015, 06:57
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

trygonometria równanie z parametrem

Post autor: jakub2001 » 23 wrz 2015, 20:36

Dla jakich wartości parametru p równanie 〖cos〗^3 x+pcosx+p+1=0 ma dokładnie trzy rozwiązania w przedziale 〈0;2π〉.
Wychodzi mi, że dla p<-3/4, ale czy mam rację?

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Re: trygonometria równanie z parametrem

Post autor: eresh » 23 wrz 2015, 21:03

jakub2001 pisze:Dla jakich wartości parametru p równanie 〖cos〗^3 x+pcosx+p+1=0 ma dokładnie trzy rozwiązania w przedziale 〈0;2π〉.
Wychodzi mi, że dla p<-3/4, ale czy mam rację?
nie masz racji, zobacz co się dzieje gdy p=-3

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 23 wrz 2015, 21:43

\(cosx=t\;\;\;\;i\;\;\;t\in <-1;1>\)
\(t^3+pt+p+1=0\\(t^3+1)+(pt+p)=0\\(t+1)(t^2-t+1)+p(t+1)=0\\(t+1)(t^2-t+1+p)=0\\t_1=-1\;\;czyli\;\;cosx=-1\;\;stąd\;\;x=\pi\)
Drugie równanie
\(t^2-t+1+p=0\)
musi mieć dwa rozwiązania t większe od liczby (-1) i jednocześnie mniejsze bądź równe 1.
Liczę deltę,która ma być większa od zera,potem \(t_1\;\;\;i\;\;\;t_2\) ,następnie rozwiązuję nierówności:
\(-1<t_1\le 1\;\;\;\;i\;\;\;\;-1<t_2\le 1\)
i mam wynik...
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

jakub2001
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 14 sie 2015, 06:57
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: trygonometria równanie z parametrem

Post autor: jakub2001 » 23 wrz 2015, 21:47

Oczywiście! Dziękuję!

beata1111
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 116
Rejestracja: 23 kwie 2012, 07:41
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: beata1111 » 26 sie 2016, 12:58

Porządkuję sobie właśnie rozwiązania z poprzednich edycji "Diamentowego indeksu", ba następna niedługo, i znalazłam to zadanko, czy na pewno odpowiedź tu podana jest prawidłowa? Mi wyszedł przedział (-3;-1) suma {-3/4}.
Jeżeli to równanie kwadratowe miałoby dwa różne t z przedziału (-1;1>, to czy nie będą wtedy cztery różne cosinusy? A mają być dwa, żeby w sumie były trzy. Jak delta jest równa zero, to t spełnia warunek zadania,, czyli p= -3/4, a jak delta jest dodatnia, to jedno t musi być z przedziału (-1;1>, a drugie mniejsze równe -1 lub większe od 1. Nie jestem tak do końca pewna, czy dobrze myślę

kelly128
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 105
Rejestracja: 25 lip 2016, 09:06
Lokalizacja: Kraków
Otrzymane podziękowania: 46 razy
Płeć:

Re:

Post autor: kelly128 » 28 sie 2016, 13:46

beata1111 pisze: Mi wyszedł przedział (-3;-1) suma {-3/4}.
Tak, to jest prawidłowa odp.

beata1111
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 116
Rejestracja: 23 kwie 2012, 07:41
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: beata1111 » 28 sie 2016, 14:24

Dziękuję !

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Re: Re:

Post autor: Galen » 29 sie 2016, 19:47

kelly128 pisze:
beata1111 pisze: Mi wyszedł przedział (-3;-1) suma {-3/4}.
Tak, to jest prawidłowa odp.
Podstaw p=-2 i sprawdź,czy otrzymasz trzy pierwiastki z przedziału <-1;1>
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

beata1111
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 116
Rejestracja: 23 kwie 2012, 07:41
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: beata1111 » 29 sie 2016, 20:25

Podstawiłam p = -2, wychodzą trzy różne t, t = -1, t = -0,61..., t = 1,6... (przybliżone wyniki, kalkulatorem rozwiązywałam), ten największy jest sprzeczny z założeniem, ale dla t = -0,61... (t = cosx) będą dwa różne rozwiązania x, dla t = -1 jest jedno, więc w sumie trzy różne w zakładanym przedziale

kelly128
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 105
Rejestracja: 25 lip 2016, 09:06
Lokalizacja: Kraków
Otrzymane podziękowania: 46 razy
Płeć:

Post autor: kelly128 » 29 sie 2016, 21:01

Przeanalizujcie sobie wykresy funkcji
\(f(t)=t^2-t +c\)
gdzie c=1+p

Wtedy widać, że potrzebne warunki (jedno m. z. należy do przedziału (-1,1>, a drugie nie) spełniają funkcje:
\(f(t)=(t- \frac{1}{2} )^2=t^2-t+ \frac{1}{4}\)
i tu mamy \(c= \frac{1}{4} \So p=- \frac{3}{4}\)

oraz te, których wykresy znajdują się pomiędzy
\(f(t)=(t+1)(t-2)=t^2-t-2, \ a \ f(t)=t^2-t\)
zatem -2<c<0 co daje -3<p<-1.
Ostatnio zmieniony 29 sie 2016, 21:30 przez kelly128, łącznie zmieniany 1 raz.

beata1111
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 116
Rejestracja: 23 kwie 2012, 07:41
Podziękowania: 13 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: beata1111 » 29 sie 2016, 21:29

O takiej metodzie nie pomyślałam, czyli moje rozumowanie też chyba jest dobre, ten sam wynik wychodzi

kelly128
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 105
Rejestracja: 25 lip 2016, 09:06
Lokalizacja: Kraków
Otrzymane podziękowania: 46 razy
Płeć:

Post autor: kelly128 » 29 sie 2016, 21:35

Z tego co opisywałaś powyżej, wygląda, że dobrze myślisz :) .