iloczyn piętnastu kolejnych liczb naturalnych (konkurs)

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Mi82
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 147
Rejestracja: 05 mar 2009, 01:17
Podziękowania: 131 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

iloczyn piętnastu kolejnych liczb naturalnych (konkurs)

Post autor: Mi82 » 14 lis 2014, 23:49

Witam,
Poszukuję pomocy w rozwiązaniu zadania z konkursu matematycznego (kuratorium oświaty Kraków), etap wojewódzki dla gimnazjum r.szk. 2012/13:

Wśród piętnastu kolejnych liczb naturalnych jest liczba 125, Iloczyn tych piętnastu liczb ma na końcu dokładnie
a. 2 zera
b. 3 zera
c. 4 zera
d. 5 zer
e. 6 zer
Podobno prawidłowa odpowiedź to d, czyli 5 zer ale mi wychodzi wynik którego w ogóle nie ma w tych odpowiedziach :(.
Będę wdzięczna za pomoc lub chociaż wskazówkę.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2946
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1555 razy
Płeć:

Re: iloczyn piętnastu kolejnych liczb naturalnych (konkurs)

Post autor: Panko » 15 lis 2014, 00:11

Rozkładamy iloczyn na czynniki pierwsze :
Dostajemy w tym rozkładzie też \(2^ \alpha \cdot 5^ \beta\).
Oczywiście \(\alpha > \beta\) ( dlaczego ?)
Liczba zer na końcu iloczynu jest równa min\(( \alpha , \beta )\) czyli \(\beta\) .
Weźmy maksymalny rozstęp w którym się mieszczą kolejne składniki iloczynu i wypiszmy te podzielne przez \(5\) \(\\): \(\left\{115,120,125,130,135 \right\}\).
Każde pobranie kolejnych 15-nastu ( z liczbą \(125=5^3)\)pobiera jeszcze dokładnie dwie podzielne przez \(5^1\) .
Wniosek \(\beta =3+1+1=5\)
ODP :\(d\)

Mi82
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 147
Rejestracja: 05 mar 2009, 01:17
Podziękowania: 131 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: Mi82 » 15 lis 2014, 00:55

Dziękuję Panko że znalazłeś czas i tak szybko odpisałeś.
Nie do końca jednak rozumiem to rozwiązanie.
Rozkładamy iloczyn, czyli wynik mnożenia kolejnych 15 liczb naturalnych, to jest jasne.
Jakich liczb w rozkładzie dotyczy \(2^{ \alpha }\) ?
Maksymalny rozstęp i liczby podzielne przez 5 ogarniam ale nie wiem dlaczego rozwiązanie sprowadza się do sumy wykładników potęg liczby 5 ?
Na pierwszy rzut oka wydawało mi się, że iloczyn 15 liczb trzycyfrowych to b. duży wynik i tych zer musi być więcej niż 6.