zadanie z czworokątem (konkurs matemat. gimnazjum)

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Mi82
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 147
Rejestracja: 05 mar 2009, 01:17
Podziękowania: 131 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

zadanie z czworokątem (konkurs matemat. gimnazjum)

Post autor: Mi82 » 04 paź 2014, 11:02

Witajcie,
proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania z konkursu matematycznego dla uczniów gimnazjum III etap z 2013 roku.
treść zadania:
W czworokącie ABCD przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O pod kątem prostym w taki sposób, że
\(\frac{CO}{AO} = \frac{DO}{BO}= \frac{2}{3}\)

Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem.
Oblicz pole tego czworokąta przyjmując IACI=20cm, IBDI= 14cm.

Nie znam niestety odpowiedzi do tego zadania. Ale mam wątpliwości, czy jest ono poprawne ponieważ patrząc na proporcje odcinków powstałych w przekątnych wydaje mi się, że owe przekątne (AC oraz BD) powinny być równe sobie. Tymczasem do obliczenia pola tego czworokąta zostały podane różne długości.

Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Post autor: Przemo10 » 04 paź 2014, 11:56

Spróbuj pokazać podobieństwo trójkątów \(ABO\) i \(DOC\)
Z podobieństwa zauważ równość odpowiednich kątów.
Wywnioskuj z tego na mocy tw odwrotnego do Talesa równoległość \(AB\) i\(DC\).

Mi82
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 147
Rejestracja: 05 mar 2009, 01:17
Podziękowania: 131 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: Mi82 » 18 paź 2014, 13:57

Dzięki za podpowiedź! Zauważyłam podobieństwo trójkątów ABO i DOC z cechy podobieństwa: bok, kąt, bok (trójkąty te mają po dwa boki tej samej długości oraz kąt prosty zawarty między tymi bokami). Z tego dalej zauważyłam, że pozostałe kąty w tych trójkątach mają po 45 stopni, ale nie mogę dojść to równoległości AB i DC... .

Mam jeszcze wątpliwość co do drugiej części zadania w której należy obliczyć pole czworokąta.
Podane przekątne nie są równej długości, tymczasem po rozrysowaniu tego czworokąta oraz po zauważeniu że są w nim trójkąty podobne, mi wychodzi, że jest to trapez równoramienny, więc przekątne powinny być tej samej długości. Gdzie robię błąd ?

Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Re:

Post autor: Przemo10 » 25 paź 2014, 14:34

Mi82 pisze:(trójkąty te mają po dwa boki tej samej długości oraz kąt prosty zawarty między tymi bokami).
Coś nie gra bo jak zauważyłaś podobieństwo to masz , że \(|AO|=3x; |OC|=2x;|DO|=2y;|OB|=3y\) a z tego nie masz pewności . że są równe boki , czyli , że \(|AO|=|OB|; |OC|=|DO|\) Jakby tak było to te trójkąty były by przystające

Odnośnie równoległobości jeszcze jak pokazałaś trójkąty podobne, to zaznacz na rysunku które dokładnie kąty są równe. Jak to zobaczysz to koniec ,to zauważ , że są to kąty naprzemianległe, a jak kąty naprzemianległe są równe to proste są równoległe,

Mi82
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 147
Rejestracja: 05 mar 2009, 01:17
Podziękowania: 131 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: Mi82 » 28 paź 2014, 00:52

Przemo10 wielkie dzięki mistrzu że znalazłeś czas i odpisałeś na te moje drążenie tematu.
Siadam i rysuję jeszcze raz wszystko od początku licząc że już teraz załapię o co biega.
Zapomniałam o kątach naprzemianległych.
Dzięki!