Zadania z AGH (2010/2011; 2011/2012)

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Awatar użytkownika
prymbiowskii
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 64
Rejestracja: 29 gru 2013, 15:05
Podziękowania: 11 razy
Otrzymane podziękowania: 18 razy
Płeć:

Zadania z AGH (2010/2011; 2011/2012)

Post autor: prymbiowskii » 29 gru 2013, 15:34

Witam.
Potrzebuję pomocy przy następujących zadaniach. Oprócz rozwiązań, mile widziane są również/lub wskzówki jak dojść do rozwiązania.

1. Dane są punkty \(A=(-1,-8)\) oraz \(B=(5,4)\). Znajdź taki punkt \(C\), żeby \(\vec{AC}\) = 5 \(\vec{CB}\).
2. Licz\(by 1,2,...,n\) gdzie \(n>2\) przedstawiamy w dowolny sposób. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:
\(A\) - pierwszy wyraz otrzymanego ciągu będzie większy od ostatniego
\(B\)- liczby 1 i 2 nie będą ustawione obok siebie
\(C\) - liczby \(1,2\) i \(3\)będą ustawione obok siebie w kolejności wzrastania.
\(3.\) Oblicz sumę trzydziestu największych ujemnych rozwiązań równania: \(cos2x + sinx = 0\).
\(4.\) Zbadaj w zależności od parametru k wzajemnie położenie prostych: \(l_{1}: kx + y = 2\) oraz \(l_{2}: x + ky = k + 1\). Dla jakich k te proste przecinają się wewnątrz kwadratu, w którym punkty \(A=(2,-2)\) i \(B=(-2,2)\) są końcami przekątnej?

Z góry dzięki za pomoc. Jeśli ktoś wie, jak to zrobić to niech pisze nawet jedno zadanko.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 31 gru 2013, 21:50

Rachunki są długie do 4)
\(\begin{cases}x+ky=k+1 \\ kx+y=2 \end{cases}\)
Jeżeli \(W=\begin{vmatrix}1& k \\ k&1& \end{vmatrix}=1-k^2 \neq 0\) to proste przecinają się w jednym punkcie .
Dokładnie \(W \neq 0 \iff k \in R- \ \left\{1 ,-1\right\}\)
Jeżeli \(k=1\) , to są to te same proste ( nie ma punktu przecięcia )
Jeżeli \(k=-1\) , to \(\begin{cases}x-y=0 \\ x+y=2 \end{cases}\) czyli \(\begin{cases}x=1 \\ y=1 \end{cases}\) i punkt przecięcia leży wewnątrz wymaganego kwadratu.
Liczymy wyznaczniki poboczne \(W_x=\begin{vmatrix}k+1& 2 \\ k&1& \end{vmatrix}=1-k\) , \(W_y=\begin{vmatrix}1& k+1 \\ k&2& \end{vmatrix}=2-k(k+1)\)
Jeżeli \(k \in R- \left\{ 1,-1\right\}\) to współrzędne punktu przecięcia prostych to \(x=\frac{W_x}{w}, y=\frac{w_y}{w}\)
\(x=\frac{1-k}{1-k^2} , y=\frac{2-k^2-k}{1-k^2}\)
WNĘTRZE kwadratu opisane jest nierównościami : \(|x| <2 \wedge |y|<2\)
Podstawiamy : \(|\frac{1-k}{1-k^2}| <2 \wedge |\frac{2-k^2-k}{1-k^2}|<2\)
Drobne uproszczenie :\(|\frac{1}{1+k}| <2 \wedge |\frac{k+2}{k+1}|<2\)
Przechodzę do nierówności w wierszu : \(1<|2+2k| \wedge |k+2|<2 |k+1|\)
Kolejno \(1<|2+2k| \iff k \in (- \infty ,-3/2) \cup (-1/2, \infty )\)
kolejno \(|k+2|<2 |k+1| \iff k \in (- \infty , -4/3) \cup (0, \infty )\)
Przecięcie powyższych zbiorów to \(k \in (- \infty , -3/2) \cup (0, \infty )\)

ODPOWIEDź : Dla :\(k \in (- \infty , -3/2) \cup (0, \infty ) \cup \left\{ -1\right\}\) proste przecinają się wewnątrz kwadratu,