2 zadania konkursowe z fizyki z pola grawitacyjnego

[kaskada]

1. Układ potrójny jest złożony z trzech jednakowych gwiazd o masie \(m = 1,5 \cdot 10^3^0\) kg każda obiegających wspólny środek masy. Środki gwiazd tworzą trójkąt równoboczny o boku \(a = 3 \cdot 10^8\) km. Oblicz:
a) promień okręgu, po którym poruszają się gwiazdy;
b) wartość siły dośrodkowej działającej na każdą z nich;
c) okres obiegu;
d) całkowitą energię układu potrójnego.



2. Z działa ustawionego u podnóża zbocza nachylonego do poziomu pod kątem \(30^ \circ\) wystrzelono pocisk z prędkością o wartości \(400 \frac{m}{s}\). W chwili wystrzelenia pocisku lufa działa była nachylona do zbocza pod kątem \(30^ \circ\).
a) Napisz równanie toru pocisku \(y(x)\) oraz równanie kierunkowe prostej, która opisuje pionowy przekrój powierzchni zbocza; początek układu umieść w miejscu położenia działa o pomijalnie małych rozmiarach.
b) Oblicz współrzędne punktu P, w którym pocisk trafił w zbocze, oraz odległość tego punktu od działa.
c) Oblicz czas lotu pocisku.

[octahedron]

\(1)\) Gwiazdy krążą po okręgu opisanym na trójkącie

\(a)\,R=\frac{a}{\sqrt{3}}
b)\,F=\frac{Gm^2}{a^2}\cdot 2\cos 30^o
c)\,T=\frac{2\pi R}{v}=2\pi\sqrt{\frac{mR^2}{mv^2}}=2\pi\sqrt{\frac{mR}{F}}
d)\,E=\frac{3mv^2}{2}-\frac{3Gm^2}{a}=\frac{3FR}{2}-\frac{3Gm^2}{a}\)

[ef39]

Kąt nachylenia lufy względem poziomu \(\; \alpha =30^0+30^0=60^0\)
Prędkość pocisku rozłożymy na dwie składowe
poziomą \(\; v_{0x}=v_0 \cdot cos \alpha\)
pionową \(\; v_{0y}=v_0 \cdot sin \alpha\)
zakładamy brak oporów ruchu
w kierunku poziomym ruch jest jednostajny
\(\; x=v_{0x} \cdot t=v_0 cos \alpha \cdot t\)
w kierunku pionowym mamy ruch jednostajnie opóźniony z opóźnieniem g
\(y=v_{0y}t- \frac{gt^2}{2}=v_0sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}\)

z pierwszego r-nia wyznaczamy t i wstawiamy do drugiego, otrzymamy równanie toru pocisku

\(y=- \frac{g}{2v_0^2cos^2 \alpha }x^2\; +\; xtg \alpha \;\) teraz należy wstawić dane liczbowe

Równanie kierunkowe prostej (obrazujące linię zbocza) ma postać
\(y={ \frac{ \sqrt{3} }{3}x\;\) - ponieważ prosta przechodzi przez początek układu \((b=0)\)
i jest nachylona pod kątem \(30^0\;\) do osi OX \((a=tg30^0=\frac{ \sqrt{3} }{3})\)

Rozwiązując układ równań znajdziemy współrzędne punktu P

\(\begin{cases}y=- \frac{g}{2v_0^2cos^2 \alpha }x^2\; +\; xtg \alpha \\<br />y={ \frac{ \sqrt{3} }{3}x \end{cases}\)

oczywiście wyjdą nam dwa punkty ale jeden będzie miał współrzędne (0;0)

odległość punktu P od działa policzymy \(d= \sqrt{x_P^2+y_P^2}\)

czas lotu np z równania \(x_P=v_0 cos \alpha \cdot t\)

[functionlocalextrema]

Zadanie 1. podpunkt d)
Czemu energia potencjalna układu jest równa 3, skoro rozpatrujemy 3 planety oddziałujące na siebie nawzajem gdzie każda z nich oddziałuje z dwoma innymi (czyli w moim mniemaniu posiada dwie energie potencjalne).
Byłbym bardzo wdzięczny za wytłumaczenie problemu.

[Panko]

Energia potencjalna ( tu grawitacyjna) jest właściwością układu ciał a nie któregokolwiek z nich oddzielnie i liczona jest dla wszystkich par ciał bedących w układzie .

Ogólnie np : mamy \(n>1\) gwiazd każda o masie \(m\) . Wtedy całkowita grawitacyjna energia potencjalna liczona jest dla \({n \choose 2}\) par ciał.

\({n \choose 2} =\frac{n(n-1)}{2}\)

[Robert Rydwelski]

\(b)\,F=\frac{Gm^2}{a^2}\cdot 2\cos 30^o\)

z czego to jest wyprowadzone ?

[korki_fizyka]

z praw Keplera

[er_ato]

z praw Keplera

W jaki sposób? Kombinuję na każdy możliwy sposób i nic.

[octahedron]

To suma wektorowa sił, z jakimi jedną gwiazdę przyciągają pozostałe dwie.