Dowód z równaniem.

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mayn13
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 18
Rejestracja: 02 kwie 2013, 11:27
Lokalizacja: Łódź
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Dowód z równaniem.

Post autor: mayn13 » 16 kwie 2013, 17:20

Mam mały problem z pewnym zadaniem, gdyż nie wiem, czy udowodniłem je poprawnie. A więc:
Wykaż, że jeśli \(a_1<a_2<...<a_n\), to równanie \(\frac{1}{x-a_1}+ \frac{1}{x-a_2}+...+ \frac{1}{x-a_n}=0\) ma w każdym z przedziałów \((a_i , a_i_+_1)\) dokładnie jeden pierwiastek.
Jakieś propozycje rozwiązań? ; )

Awatar użytkownika
lukasz8719
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 852
Rejestracja: 06 lut 2012, 18:03
Otrzymane podziękowania: 403 razy
Płeć:

Re: Dowód z równaniem.

Post autor: lukasz8719 » 16 kwie 2013, 20:41

Funkcja jest w każdym takim przedziale ciągłą.
Dostajemy
\(\lim_{x\to a_i^+} f(x)=+ \infty

\lim_{x\to a_{i+1}^-}=- \infty\)


Więc z własności Darboux musi mieć miejsce zerowe w każdym przedziale \((a_i, a_{i+1})\) A jest jeden bo funkcja jest w każdym takim przedziałku :D ściśle rosnąca (policz pochodną)