ZADANIE Z TRÓJKĄTEM

Zadania konkursowe i olimpijskie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
marcin2002
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 20 lut 2009, 15:01
Otrzymane podziękowania: 1 raz

ZADANIE Z TRÓJKĄTEM

Post autor: marcin2002 »

Dowieść że jeżeli alfa, beta, gama są kątami trójkąta to 1<cos(alfa)+cos(beta)+cos(gama)=<1,5
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Policzmy wartość wyrażenia \(cos \alpha +cos \beta +cos \gamma\):
\(cos \alpha +cos \beta +cos ( \pi - (\alpha + \beta ))= cos \alpha +cos \beta -cos (\alpha + \beta )= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=
2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}} -2cos^2{\frac{ \alpha + \beta }{2}}+1=2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( cos {\frac{ \alpha - \beta }{2}}-cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}}\right) +1= 2cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} \left( -2sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \left( -\frac{ \beta }{2} \right) } \right) +1=
4cos {\frac{ \alpha + \beta }{2}} sin{ \frac{ \alpha }{2}}sin{ \frac{ \beta }{2} }+1\)
To, że to jest większe od 1 jest oczywiste, a że mniejsze od1,5 trochę mniej...
ODPOWIEDZ