Teoria mnogosci - rozumowanie przekątniowe Wiki

O wszystkim i o niczym.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
pk67
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 25 lis 2022, 12:15
Płeć:

Teoria mnogosci - rozumowanie przekątniowe Wiki

Post autor: pk67 »

Witam
Chciałbym zapytać o kilka problemów jak w tytule, ale ponieważ to nie są zadania dlatego zdecydowałem się założyć ten temat w tym wątku. Jeśli mod uzna że lepszym miejscem na rozważnia w tym temacie jest dział z zadaniami to niech ten wątek przeniesie.

Chciałbym poruszyć temat metody przekątniowej w kontekście tego lakonicznego opisu który się znajduje w polskiej wikipedii.
Z tematem tym spotkałem się już wiele lat temu i czasami do niego wracam myślami, aż w końcu teraz zdecydowałem się założyć tu konto aby podzielić się moimi wątpliwościami i/lub uzyskać tutaj pomoc/wyjaśnienia.

Nie będę tutaj powielał całego opisu jaki znajduje się na stronie wikipedii - ograniczę się jedynie do zacytowania lakonicznego wniosku końcowego :
"W efekcie liczba rzeczywista {\displaystyle a}a od pierwszej liczby ciągu różni (co najmniej) pierwszą cyfrą, od drugiej liczby ciągu różni (co najmniej) drugą cyfrą, ... od k-tej liczby ciągu różni (co najmniej) k-tą cyfrą. Tzn. liczba {\displaystyle a}a nie występuje w ciągu, wbrew temu, że ciąg zawierał wszystkie liczby rzeczywiste. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych z przedziału {\displaystyle [0,1]}[0,1] nie są równoliczne."

Nie rozumiem w jaki sposób w którymś kroku z ciągu cyfr konstruowanego rozwinięcia dziesiętnego o skończonej długości powstaje nagle rozwinięcie o nieskończonej długości.
Wszak w rozumowaniu wszystkie operacje wykonywane są po kolei wiersz po wierszu wzdłuż przekątnej - te cyfry (k-ta cyfra w k-tym wierszu muszą być odczytane i odpowienio zmodyfikowane.

Domyślam się że w teorii liczb zakłada się apriori istnienie możliwości przedstawienia/wskazania rozwinięcia dziesiętnego liczby niewymiernej bez dowodu czy bez wskazania konstrukcji jak to zrobić krok po kroku lub w jednym kroku.
W takim przypadku chodziłoby nie tyle o konstrukcję nieskończonego rozwiniecia dziesiętnego liczby niewymiernej co o zbadanie właściwości istniejącego apriori takiego przedstawienia liczby niewymiernej w tej właśnie formie.

Dla mnie są to dwie zupełnie różne sprawy wymagające opisu różnymi słowami.
Osobiście przyjmuję za realizowalne tworzenie - mówiąc potocznie w nieskończoność - dowolnie długich a mimo to skończonych ciągów liczbowych, przyjmuję istnienie ciągów nieskończonych reprezentowanych symbolicznie przy pomocy skończonej liczby symboli - na przykład funkcji sumy - nieskończone szeregi liczbowe, funkcyjne.
Dla mnie czym innym jest istnienie nieskonczonego rozwinięcia dzisietnego jako abstrakcyjnej właściwości bez możliwości konstruowania przedstawień w takiej formie, a czym innym jest przyjmowanie apriori ( jako aksjomat) że skoro dana właściwość istnieje to implikuje ona możliwość przedstawienia lub operowania daną właściwością. Na przykład przez zero nie dzielimy z powodu oczywistych konsekwencji.
Konkludując dla mnie możliwość dokonania jakiejkolwiek operacji na wszystkich cyfrach nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego jest tak samo wątpliwa jak możliwość zsumowania tych cyfr ( tryb dokonany), bo sumowanie w nieskończoność (tryb niedokonany) uznaję oczywiścia za wykonalne abstrakcyjnie.

Bardzo proszę o pomoc/wyjaśnienie lub wskazanie źródeł gdzie potrzebne wyjaśnienia mógłbym znależć. Pozdrawiam i dziękuję za wyrozumiałość.
pk67
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 25 lis 2022, 12:15
Płeć:

Re: Teoria mnogosci - rozumowanie przekątniowe Wiki

Post autor: pk67 »

Ponieważ nikt z czytających ten wątek nie odpowiedział przez prawie tydzień na moje wątpliwosci mam w związku z tym pytanie/ankietę. Czy czytają ten wątek profesjonalisci z dziedziny teorii liczby lub amatorzy zainteresowani tym zagadnieniem podobnie jak ja ?
Jeśli ktokolwiek się wpisze do tego wątku to będę miał motywację by bardziej szczegółowo opisać powody moich wątpliwości.
W telegraficznym skrócie głównym zródłem moich wątpliowsci jest spostrzeżenie iż "definicja" tak rozlegla iż jest nieskończona - pozostaje ZAWSZE nie skończona/ nie dokończona więc jest zaprzeczeniem pierwotnego znaczenia słowa definicja - czyli do końca, stąd ten cudzysłów. Interesuje mnie jak najbardziej poważna dyskusja/ poważne argumenty - nie ałożyłem tego wątku dla żartu. Pozdrawiam
ODPOWIEDZ