wyrażenie

[domino21]

nie wiem, czy wcześniej to widzieliście, ale na mnie zrobiło wrażenie!

oblicz wartość wyrażenia

\(\ln \left\{\lim_{z\to \infty} \left[\left((\overline{X}^T)^{-1}-(\overline{X}^{-1} )^T \right)!+\frac{1}{z} \right]^2\right\}+\sin^2 p + \cos^2 p -\sum_{n=0} ^{\infty} \frac{ \cos h(q) \cdot \sqrt{1-tan h^2 (q)}}{2^n}\)

[supergolonka]

Liczymy
\(\ln \left\{\lim_{z\to\infty} \left[\left((\overline{X}^T)^{-1}-(\overline{X}^{-1})^T \right)!+\frac{1}{z} \right]^2\right\}=
\ln \left\{\lim_{z\to\infty} \left[\left((0\right)!+\frac{1}{z} \right]^2\right\}=\ln\lim_{z\to\infty} \left[\left(1+\frac{1}{z}\right)\right]^2=\ln 1=0\)
dalej
\(\sin^2%20p%20+%20\cos^2%20p%20=1\)
dalej
\(\cosh (q) \cdot \sqrt{1-tanh^2(q)}=\cosh (q) \cdot \sqrt{1-\frac{\sinh^2 q}{\cosh^2 q}}=\cosh (q) \cdot \sqrt{\frac{\cosh^2 q-\sinh^2 q}{\cosh^2 q}}=\cosh (q) \cdot \sqrt{\frac{1}{\cosh^2 q}}=1\)
Stąd
\(\sum_{n=0}%20^{\infty}%20\frac{%20\cos%20h(q)%20\cdot%20\sqrt{1-tan%20h^2%20(q)}}{2^n}=\sum_{n=0}%20^{\infty}%20\frac{1}{2^n}=2\)
Całe wyrażenie jest więc równe 0+1-2=-1

Dwie uwagi:
- zadanie jest bez sensu, bo \((\overline{X}^T)^{-1}-(\overline{X}^{-1})^T=0\) ale prawej stronie jest macierz zerowa, więc 0! nie ma sensu w tym kontekście - ktoś przedobrzył.
- w pierwszej granicy pewnie miało być do z, a nie do 2, wtedy granica wyjdzie e, a całe wyrażenie 0.

[domino21]

faktycznie z tą macierzą to prawda

a tutaj link skąd to wziąłem, ale zauważyłem, że tam też mają błąd z granicą
http://geekfun.pl/matematyka.jpg