Forum serwisu

Na zewnątrz czworokąta wypukłego ABCD budujemy trójkąty podobne APB, BQC, CRD, DSA w ten sposób, że:

|kąt PAB|=|kąt QBC|=|kąt RCD|=|kąt SDA|
|kąt PBA|=|kąt QCB|=|kąt RDC|=|kąt SAD|

Udowodnij, że jeśli czworokąt PQRS jest równoległobokiem, to czworokąt ABCD też jest równoległobokiem.

Wektory \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) , \(\vec{c}\) mają wspólny początek, gdzie \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) są bokami trójkąta, zaś \(\vec{c}\) jego środkową. Wykaż, że \(\vec{axb}\) +\(\vec{bxc}\) + \(\vec{cxa}\) =0

Niech E będzie przestrzenią liniową z funkcjonałem dwuliniowym g. Załóżmy, że g(x,y)=0 implikuje g(y,x)=0 dla x,y \in E. Wykaż, że g jest symetryczna lub antysymetryczna.

Pokaż, że jeśli A \in Mn(R) spełnia równanie A^2=I to A jest diagonalizowalna. Jakie mogą być wartości własne macierzy A?

Na zewnątrz czworokąta wypukłego ABCD budujemy trójkąty podobne APB, BQC, CRD, DSA w ten sposób, że:

|kąt PAB|=|kąt QBC|=|kąt RCD|=|kąt SDA|
|kąt PBA|=|kąt QCB|=|kąt RDC|=|kąt SAD|

Udowodnij, że jeśli czworokąt PQRS jest równoległobokiem, to czworokąt ABCD też jest równoległobokiem.

Niech A będzie macierzą mxn gdzie n>=2, która jest symetryczna, odwracalna i dodatnia. Pokaż, że liczba zerowych elementów macierzy A^-1 jest nie większa niż n^2-2n.

Dane\; są \;trzy\; wektory\;\; \vec{AB}=12 \vec{b} - 4 \vec{a},\;\; \vec{BC} = -2 \vec{a} - 14 \vec{b} \;\;i\;\;\; \vec{CA}=6 \vec{a} +2 \vec{b} \;tworzące\; trójkąt\; ABC, \\\;przy\; czym\; \vec{a}\; i\; \vec{b}\; są \;wektorami \;jednostkowymi\; wzajemnie\; prostopadłymi.\\ Obliczyć\; kąty\; tego...

W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD, BE i CF. Obliczyć

\(\vec{BC} \circ \vec{AD} + \vec{CA} \circ \vec{BE} + \vec{AB} \circ \vec{CF}\)

Wykazać, że średnia geometryczna dwóch liczb nieujemnych jest nie większa niż ich średnia arytmetyczna:
\(\sqrt{a*b} <= (a+b)/2\)

Zadanie 1.
W równoległoboku ABCD punkty P i Q są środkami boków AB i AD. Wyznaczyć wektory AD i AB w zależności od wektorów CP=p oraz CQ=q.

Zadanie 2.
Dwie cięciwy AB i CD kręgu o ośrodku O przecinają się w punkcie P pod kątem prostym. Wykazać, że wektory:
PA + PB + PC + PD = 2PO

Niech p będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V takim, że p^2=p. Udowodnij, że wówczas V=Ker p \otimes \ Im p (nie wiem czy dobrze zapisałam o jaki znaczek mi chodzi - jakby co to miałby być kółko z krzyżykiem w środku)

Niech V będzie n-przestrzenią liniową nad ciałem Fq. Znajdź liczbę wszystkich baz przestrzeni V. Dla danej m-wymiarowej podprzestrzeni U przestrzeni V znajdź liczbę podprzestrzeni W przestrzeni V takich, że V= U \otimes \ W (nie wiem czy dobrze zapisałam o jaki znaczek mi chodzi - jakby co to miałby...

Poprawione

Trzeba uzasadnić zbieżność tego szeregu za pomocą Kryterium Dirichleta

Uzasadnić za pomocą Kryterium Dirichleta szereg:

\(\sum_{n=1}^{ \infty } ( (-2) ^n * (n+1) ) / (3^n * 2n^2)\)

Przykład dwóch funkcji f,g: [0,1] -> \rr , które nie są całkowalne, ale ich suma jest funkcją całkowalną. Uzasadnić.

Przykład szeregów rozbieżnych, dla których \sum_{n=1}^{ \infty } (an*bn) jest szeregiem zbieżnym.