Forum serwisu

Nie. Dla \(z\ne 0\) wartość funkcji zależy tylko od kąta i granica w zerze nie istnieje.

f(z)=f(x+iy)=(x-iy)^2+i(x+iy)=x^2+y^2-y+i(x-2xy)=u(x,y)+iv(x,y)\\ \frac{\partial u}{\partial x}=2x\\ \frac{\partial v}{\partial y}=-2x\\ \frac{\partial u}{\partial y}=4y-1\\ \frac{\partial v}{\partial x}=1-2y\\ Równania Cauchy-Riemanna są spełnione tylko dla z=0 , pochodne u i v są ciągłe w otoczen...

Równania Cauchy-Riemanna: \begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial v}{\partial y}\\-\frac{\partial u}{\partial y}=2+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial v}{\partial x}\end{cases}\\ v(x,y)=2x-\frac{y}{x^2+y^2}+C(y)\\ \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{y...

L(x,y,z,t)=(x+y+z-t,2x+y-z+t,y+3z-3t)=x(1,2,0)+y(1,1,1)+z(1,-1,3)+t(-1,1,-3)\\ \begin{bmatrix}1&2&0\\1&1&1\\1&-1&3\\-1&1&-3\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{matrix}w_4+w_3\\w_3-3w_2\end{matrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1&2&0\\1&1&1\\-2&-4&0\\0&...

\(|z|^{-2}z\,\mathrm{Im}z=|z|^{-2}|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)|z|\sin\varphi=(\cos\varphi+i\sin\varphi)\sin\varphi\)

Jest ciągła w każdym punkcie oprócz zera.

\int\frac{e^x}{5}\,dx=\frac{1}{5}\int e^x\,dx=\frac{e^x}{5}+C\\ \int\frac{x^2-9}{x+3}\,dx=\int\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}\,dx=\int x-3\,dx=\frac{x^2}{2}-3x+C\\ \int(6x^2-x+3)\ln x\,dx=\int\left(2x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\right)'\ln x\,dx=\left(2x^3-\frac{1}{2}x^2+3x\right)\ln x-\int\left(2x^3-\frac{1}{2}x^2...

Generują. Są to wektory \((2,1,1),(1,0,3)\) w bazie \(B\), czyli \((4,3,2),(4,1,1)\) w standardowej.

\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+4}+...+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{n^2}{n^2+1}+\frac{n^2}{n^2+4}+...+\frac{n^2}{n^2+n^2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\left(\frac{1}{n}\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\fr...

\int\limits_0^nx^k\,dx<1^k+2^k+...+n^k<\int\limits_1^{n+1}x^k\,dx\\ \frac{n^{k+1}}{k+1}<1^k+2^k+...+n^k<\frac{(n+1)^{k+1}-1}{k+1}\\ 1<\frac{1^k+2^k+...+n^k}{\frac{n^{k+1}}{k+1}}<\frac{(n+1)^{k+1}-1}{n^{k+1}}\\ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{k+1}-1}{n^{k+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\fr...

\int\limits_0^\pi\sin^2x\,dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,dx+\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^\pi\sin^2x\,dx=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,dx+\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+t\right)\,dt=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,dx+\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t...

To błąd w druku, w odpowiedzi albo w treści.

Ma asymptotę poziomą, przy symetrii powinna mieć też ukośną, a nie ma.