Forum serwisu

2. \(r\) - promień wspólnej podstawy
\(\displaystyle\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r^2h_2}=\frac{h_1}{h_2}=\frac{r\ctg\frac{\alpha}{2}}{r\ctg\left(\frac{180^o-\alpha}{2}\right)}=\frac{\ctg\frac{\alpha}{2}}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\ctg^2\frac{\alpha}{2}\)

\displaystyle{ F_Z(z)=P(Z\le z)=P(\ln(X+Y)\le z)=P(X+Y\le e^z)\\ z\in(-\infty,0):\\ F_Z(z)=\int\limits_0^{e^z}f_X\int\limits_0^{e^z-x}f_Y\,dy\,dx=\int\limits_0^{e^z}1\int\limits_0^{e^z-x}e^{-y}\,dy\,dx=\int\limits_0^{e^z}1-e^{x-e^z}\,dx=e^z+e^{-e^z}-1\\ z\in\langle 0,\infty):\\ F_Z(z)=\int\limits_0...

1)\\ x\in(-\infty,0):\\ \frac{1}{x^3-x}\le -\frac{1}{x}\\ \frac{1}{x(x^2-1)}+\frac{1}{x}\le 0\\ \frac{x}{x^2-1}\le 0\\ x(x^2-1)\le 0\\ x(x+1)(x-1)\le 0\\ x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 0,1\rangle\\ \boxed{x\in(-\infty,-1)}\\ 2)\\ x\in(0,\infty):\\ \frac{1}{x^3-x}\le \frac{1}{x}\\ \frac{1}{x(x^2-...

Niech (a,b)\in R\circ R . Zatem dla pewnego c mamy (a,c)\in R i (c,b)\in R . Jeśli R jest przechodnia, to wtedy (a,b)\in R . Stąd wynika R\circ R\subset R . Teraz zakładamy R\circ R\subset R i niech (a,c)\in R i (c,b)\in R . Wtedy (a,b)\in R\circ R , ale równocześnie (a,b)\in R , skąd wynika przecho...

Lub tak: |CD|=a\\ |CS|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ |ST|=\frac{1}{3}|CS|\\ |CO|=\frac{2}{3}|CS|\\ \sin\angle TCS=\frac{|ST|}{|CS|}=\frac{1}{3}\\ \cos\angle DCS=\frac{|CO|}{|CD|}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\ |OM|^2=|CO|^2+|CM|^2-2|CO||CM|\cos\angle DCS=\left(\frac{a}{2}\right)^2\quad\Rightarrow\quad |OM|=|CM|\quad\...

Przecież nie jest potrzebny.

\displaystyle{ \frac{d}{dt}\tg t=\frac{1}{\cos^2t}=\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{\cos^2t}+\frac{1}{t^2-1}\right)\quad\Rightarrow\text{ równanie zupełne}\\ F(x,y)=\int\tg t\,dy=y\tg t+C(t)\\ \frac{d}{dt}F=\frac{y}{\cos^2t}+C'(t)=\frac{y}{\cos^2t}+\frac{1}{t^2-1}\\ C(t)=\int\frac{1}{t^2-1}\,dt=\frac{1}{...

Wszystkie są królami: \(P(A)=\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}\cdot\frac{2}{50}=\frac{1}{5525}\)
Nie wszystkie są królami: \(P(A')=1-P(A)=\frac{5524}{5525}\)

Albo tak:
\(\vec{AB}\times\vec{AC}=[1,0,1]\times[-1,2,1]=[-2,-2,2]=-2\cdot[1,1,-1]\quad\Rightarrow\quad \vec{n}=[1,1,-1]\\
\vec{DA}=[0,-2,4]\\
\vec{DD'}=\frac{\vec{DA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\cdot\vec{n}=[-2,-2,2]\quad\Rightarrow\quad D'=(-1,-2,0)\\
|DD'|=\left|\vec{DD'}\right|=2\sqrt{3}\\\)

Z obwodu podstawy mamy: 2\pi r=2\pi R\cdot\frac{216}{360}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{3}{5}R\quad\Rightarrow\quad H=\sqrt{R^2-r^2}=\frac{4}{5}R\\ Przekrój jest trójkątem o wysokości h=\frac{H}{\sin\alpha}=\frac{4R}{5\sin\alpha} i podstawie p=2\sqrt{r^2-(H\ctg\alpha)^2}=\frac{2R}{5}\sqrt{9-16\ctg^2\...