Forum serwisu

a) \(\Lim_{x \to \infty} \frac{\ln \left(2^x+1 \right)}{x}=^H\Lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2^x+1} \cdot 2^x \ln 2}{1}=\Lim_{x \to \infty} \frac{2^x \cdot \ln2}{2^x+1}=\ln 2\)

skorzystaj ze schematu Hornera.

1. Równanie to jest równoważne: 3^{\sin x} \cdot 3^{\frac{1}{2}\sin x} \cdot 3^{\frac{1}{4}\sin x} \cdot \ldots =3 3^{\sin x \left( 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} +\ldots \right)}=3^{\sin x \frac{1}{1-\frac{1}{2}}}=3^{2\sin x} = 3 zatem 2\sin x =1 \rightarrow \sin x =\frac{1}{2} , dalej już łatwo

podaj w takim razie wzór na schemat Bernoulliego.

czy wykładnik jest w postaci ułamka zwykłego? Jeśli tak to jaki jest jego mianownik?

zauważ, że mamy tutaj ukryty wzór: \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\) dla \(a=\sqrt[3]{5} \quad b=2\)

bowiem,

\((\sqrt[3]{5}-2)(\sqrt[3]{25}+2\sqrt[3]{5}+4)=(\sqrt[3]{5}-2)(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{8}\sqrt[3]{5}+4)=\\=(\sqrt[3]{5}-2)(\sqrt[3]{40}+\sqrt[3]{5}+4)=5-8=-3=\log _2 \frac{1}{8}\)

a)

tak, należy wyznaczyc dziedzinę.

najlepiej przedstaw liczbę \(i\) w postaci trygonometrycznej i zastosuj gotowy wzór na pierwiastek liczby zespolonej w tej postaci.

ciąg o wzorze ogólnym a_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} spełnia założenia kryterium całkowego. zatem zbieżność szeregu \sum_{n=1}^{\infty}a_n sprawdzimy badając zbieżność całki \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \right)dx=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx-\i...

w drugim policz pochodne cząstkowe, a potem rozwiąż układ równań postaci: \(\begin{cases} \frac{ \partial f}{ \partial x} =0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y} =0\end{cases}\)

1. Liczymy punkty wspólny danych funkcji.
\[x^2-2x=4-x^2\] \[2x^2-2x-4=0\] \[x^2-x-2=0\] \[(x+1)(x-2)=0\] zatem \(x_1=-1 \;\; \vee x_2=2\)

Pole ograniczone tymi krzywymi to: \(\int_{-1}^2 [4-x^2-(x^2-2x)]dx=\int_{-1}^2(2x-2x^2+4)dx=\\=[x^2-\frac{2}{3}x^3+4x]^{2}_{-1}=4-\frac{16}{3}+8-(1+\frac{2}{3}-4)=15-6=9\)

podstawienie:

\(\int_{}^{} x^3e^{-x^2}dx= \int_{}^{} x \cdot x^2 e^{-x^2}dx= \begin{vmatrix}t=x^2 \\ dt = 2xdx \\ xdx=\frac{1}{2}dt \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\int_{}^{} te^{-t}dt\)

dalej przez części.

mnożąc obustronnie przez \(ab\) mamy

\(a^2b+ab^2+a+b \ge 4ab\)

\(a^2b+ab^2+a+b-4ab \ge 0\)

\(a^2b+b-2ab+ab^2+a-2ab \ge 0\)

\(b(a^2-2a+1)+a(b^2-2b+1)=b(a-1)^2+a(b-1)^2 \ge 0\)

c.n.p

Pochodna, pochodna.

Zapisz czytelniej f-cje podcalkowa