Forum serwisu

zad 2b)
\(\frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-2}\)
dziedzina \(D= \rr \bez \left\{-1,2 \right\}\)
po wymnożeniu obustronnym równania przez wspólny mianownik ( w tym przypadku iloczyn dwóch mianowników )
\(2(x-2)=3(x+1)\)
\(2x=4=3x+3\)
\(x=-7 \in D\)

2a) \(\frac{4x+7}{x+1} = x+3\)
\(D= \rr \bez \left\{ -1\right\}\)
\(4x+7=(x+3)(x+1)\)
\(4x+7=x^2+4x+3\)
\(x^2=4\)
\(x=2 \vee x=-2\)

ad c) f(x)= \frac{1-x^3}{2+x} dziedzina D_f= \bez \left\{-2 \right\} \Lim_{x\to{-2}^- }f(x)=- \infty \Lim_{x\to{-2}^+ }f(x)=+ \infty czyli asymptota pionowa obustronna ma równanie x=-2 asymptota ukośna y = ax +b w + \infty a= \Lim_{x\to+ \infty } \frac{1-x^3}{x(2+x)} = \Lim_{x\to+ \infty } \frac{x^3...

ad b) f(x)= \frac{5x^3+2x^2}{x^3-7} dziedzina funkcji D_f= \rr \bez \left\{ \sqrt[3]{7} \right\} \Lim_{x\to \sqrt[3]{7}^- }f(x)=- \infty \Lim_{x\to \sqrt[3]{7}^+ }f(x)=+ \infty zatem prosta x= \sqrt[3]{7} jest asymptotą pionową obustronną Ukośne y=ax+b w + \infty a= \Lim_{x\to+ \infty } \frac{x^3(5+...

ad a) D_f= \rr , więc brak asymptot pionowych ukośne w + \infty y = ax + b a= \Lim_{x\to+ \infty } \frac{f(x)}{x} = \Lim_{x\to+ \infty \frac{x^3(1+ \frac{8}{x^3}) }{x^3(1+ \frac{4}{x^2}) } } =1 b= \Lim_{x\to+ \infty} ( \frac{x^3+8}{x^2+4} -x)= \Lim_{x\to+ \infty } \frac{x^3+8-x^3-4x}{x^2+4} = \Lim_{...

ad a)
w liczniku wyłączamy \(10^n\) i otrzymamy \(10^n(( \frac{1}{2})^n-( \frac{1}{5})^n+1 )\)
podobnie w mianowniki \(11^n(1+( \frac{5}{11})^n\)
wtedy \(\Lim_{n\to \infty }( \frac{10}{11})^n \cdot \frac{( \frac{1}{2})^n-( \frac{1}{5})^n+1 }{1+( \frac{5}{11})^n }\)=0
=

Przeciwprostokątną \Delta ABO jest odcinek AB , którego długość jest równa |AB|= \sqrt{36+9}= \sqrt{45}=3 \sqrt{5} . Zatem trójkąt CDE jest podobny do trójkąta ABO w skali równej ilorazowi długości przeciwprostokątnych , czyli skala k jest równa k= \frac{2 \sqrt{5} }{3 \sqrt{5} } = \frac{2}{3} . Dłu...

może poza kołem a nie okręgiem

do zad. 3
\(f(x)=-x^2-4x+5\)
\(y_W=f(-2)=-(-2)^2-4(-2)+5=-4+8+5=9\)

Albo
ze wzoru na \(y_W=- \frac{ \Delta }{4a}\)
\(\Delta =16-4 \cdot (-1) \cdot 5=16+20=36\)
\(y+W= - \frac{36}{-4}=9\)

poprawka do odp. zad. 5
\(m \in \left(-5,9 \right)\)

poprawka do odp. zad. 5.
\(m \in \left( \right) -5,9\)

ad.5
Teraz ma być funkcja malejąca , czyli jej współczynnik kierunkowy a = | 2=m| - 7 ma być ujemny .
Rozwiązuję prostą nierówność modułową , zauważając ( dla ułatwienia ) , że | 2-m| = |m-2|
|m-2|- 7 < 0
|m-2| < 7
=7 < m - 2 < 7
-5 < m < 9 ,
czyli \(m \in \left(*5,9 \right)\)

ad,4 funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca w całej dziedzinie D_f= \rr wtedy i tylko wtedy , gdy współczynnik kierunkowy a > 0 , zaś malejąca , gdy a< 0 . U nas ma być rosnąca i współczynnik kierunkowy ( przy x) jest równy a =m^2-2m Należy zatem rozwiązać nierówność kwadratową m^2-2m>0 , czyli ...

jeszcze do zad. 3
Zbiór wartości \(V_f= ( - \infty ,9>\)

ad. 3) wykresem tej funkcjo jest parabola o ramionach skierowanych w dół , której wierzchołek W ma współrzędne x_W=- \frac{b}{2a} =-2 i y_W=f(-2)=9 Odczytujemy z wykresu przedział x-ów , dla których funkcja jest malejąca , czyli wykres "opada" , czyli u nas funkcja jest malejąca w przedzia...