Forum serwisu

Czworokąt \(ABCD\) wpisany jest w okrąg o promieniu \(R=9\), ponadto \( \left|AB\right|= 11, \left|AC\right|= 13, \left|AD\right|= 8\). Wyznacz miary kątów czworokąta \(ABCD\)

Niech ciąg \( (a_n) \) będzie taki, że \( a_1=\sqrt{2}\) i \(a_{n+1} = (\sqrt{2})^{\log_2 a_n} \). Ciąg \((b_n)\) określony jest następująco: \( b_n = a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n\). Oblicz \(\Limn b_n\)

Oblicz sumę \( \frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} +\cdots\)

szw1710 pisze: ↑16 gru 2022, 23:10 Zobacz, jak te ułamki się upraszczają - w jednej grupie z minusami i w drugiej - z plusami.

Okej faktycznie ;DD. Dziękuję bardzo.

Zauważ, że\[1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right).\]Dlatego, po przegrupoawniu wyrazów, mamy\[a_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\dots\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\dots\left(1+\frac{1}{n}\right...

Obliczyć granicę ciągu \( a_n=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) \)

eresh pisze: ↑04 gru 2022, 08:39

xenoneq_o0 pisze: ↑03 gru 2022, 21:27 W ostaniej linijce nie powinno być \( \frac{4}{9}(\frac{10(1-10^{200})}{1-10}-200) \) ?

powinno

Okej dziękuję bardzo

W ostaniej linijce nie powinno być \( \frac{4}{9}(\frac{10(1-10^{200})}{1-10}-200) \) ?

Oblicz sume \( 4+44+444+\cdots+44...4 \), gdzie ostatni składnik zawiera 200 cyfr.

Domyślam się, że najprawdopodobniej trzeba zastosować wzór na sume ciągu geometrycznego. Próbowałem jakoś inaczej zapisać to wyrażenie, żeby z niego skorzystać, ale nie udało mi się.

Widać, że jeśli \(x\) jest rozwiązaniem, to \(x<0\). Podzielmy więc równanie przez \(x^3\). Przy tym przegrupujmy wyrazy. Dostaniemy \[ \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+4 \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+7\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0.\tag{1}\] Następnie podstawmy \[x+\frac{1}{x}=t.\] Po nietrudnych ...

Jaką metodą rozwiązać taki układ równań? Bo w zasadzie w tym jest największa trudność Podstawianiem, ale... zrobiłem to nieszablonowo: \(\begin{cases} x^{4} + mx(x+1)-6x^{2} -11x - 6 =0\\mx=-x^{3} + x^{2} + 5x + 4 \end{cases}\So\\ \qquad\So x^{4} + (-x^{3} + x^{2} + 5x + 4)(x+1)-6x^{2} -11x - 6 =0\...

Jerry pisze: ↑19 lis 2022, 23:11 Rozwiązaniem układu
\(\begin{cases} x^{4} + (m-6)x^{2} + (m-11)x - 6 =0\\ x^{3} - x^{2} + (m-5)x - 4 =0\end{cases}\)
jest, o ile się nie pomyliłem,
\(x=m=-1\)

Pozdrawiam

Jaką metodą rozwiązać taki układ równań? Bo w zasadzie w tym jest największa trudność

Wykaż, że jeżeli wielomiany \( x^{4} + (m-6)x^{2} + (m-11)x - 6 \) oraz \( x^{3} - x^{2} + (m-5)x - 4 \) mają wspólne miejsce zerowe, to jest ono liczbą całkowitą.

Rozwiąż równanie \( x^{6} + 4x^{5} + 7x^{4} +11x^{3} + 7x^{2} + 4x +1= 0 \)

Próbowałem zapisać to w postaci iloczynowej, ale miałem problem.

eresh pisze: ↑16 lis 2022, 23:30

xenoneq_o0 pisze: ↑16 lis 2022, 22:29
Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?

Wystarczy podstawić do wzoru na H

Okej dziękuję bardzo