Forum serwisu

zad 1. punkt P będzie miał współrzędne P(x_o,y_o) = P(x_o, -\frac{4}{x_o}) prostą l zapiszmy w postaci ogólnej l: \ y=\frac{3}{4}x-2 \ \So \ l: \ 3x-4y-8=0 odległość punktu od prostej obliczymy przy pomocy wzoru: d(P,l)=\frac{|Ax_o+By_o+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ d(P,l) = f(x_o)=\frac{|3x_o-4\cdot \frac...

zad 3. y=-x^2+9 \ \So \ y'=-2x\\ y(x_o)=x_o^2+9 \ \wedge \ y'(x_o)=-2x_o równanie stycznej: y-y(x_o)=y'(x_o)(x-x_o) \\ y+x_o^2-9=-2x_o(x-x_o) \\ y+x_o^2-9=-2x_ox+2x_o^2 \\ y=-2x_o x +x_o^2+9 punkty wspólne stycznej z osiami układu współrzędnych: A(0;x_o^2+9) , \ \ B(\frac{x_o^2+9}{2x_o} ;0 ) pole tr...

niestety, odpowiedź ze zbioru jest prawidłowa \Lim_{n\to \infty} \left( \sqrt{9n^2+2n}-\sqrt{9n^2-2} \right) =\Lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \sqrt{9n^2+2n}-\sqrt{9n^2-2}\right) \left( \sqrt{9n^2+2n}+\sqrt{9n^2-2}\right)}{\sqrt{9n^2+2n}+\sqrt{9n^2-2}}=\\ =\Lim_{n\to \infty}\frac{9n^2+2n-9n^2+2}{\s...

zad 3.
http://www.zadania.info/d89/1341602

zad 2.
\(x^2+mx+m-1=0 \\
x^2-1 +m(x+1)=0 \\
(x-1)(x+1)+m(x+1)=0 \\
(x+1)(x-1+m)=0 \\
x=-1 \ \vee \ x=1-m\)

widać, że jeżeli \(m\) jest liczbą całkowitą, to oba rozwiązania są również liczbami całkowitymi.

zad 1. \cos \left( \alpha + \beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \sin ^2 \alpha +\cos ^2 \alpha =1 \ \So \ \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\sin ^2 \alpha } \ \wedge \ \cos \alpha <0 \\ \cos \alpha = -\sqrt{1-\frac{4}{9} } =-\frac{\sqrt{5}}{3} \sin ^2 \beta +\cos ^2 \beta =1 \ \So ...

\(a_n<0 \\
4(n-102)(n+120)<0 \\
n\in (-120 ; 102) \ \wedge \ n\in N^+ \\
n\in \left\{ 1,2,... ,101 \right\}\)

ciąg ma 101 ujemnych wyrazów

z własności ciągów geometrycznych wiemy, że a_{n+1}=a_n \cdot q \ \ \So \ \ a_4=a_3 \cdot q \ \So \ q=\frac{a_4}{a_3} \\ q=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3} wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu: S_n =a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} policzymy brakujące a_1 a_3=a_2 \cdot q = a_1\cdot q^2 \ \So \ a_1=\frac{a_...

zasada dla ciągu arytmetycznego jest taka, że: a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\ 3x+1 =\frac{5-x+5x-2}{2} \\ 6x+2=4x+3\\ 2x=1 \ \So \ x=\frac{1}{2} wyrazy tego ciągu, wstawiamy za x i dostaniemy: a_1=5-\frac{1}{2} =\frac{9}{2}, \ \ \ a_2=3\cdot \frac{1}{2} +1 =\frac{5}{2} , \ \ \ a_3=5\cdot \frac{1}{...

a.
\(a_n<0\\
2n-8<0 \\
n<4 \ \wedge \ n\in N^+ \\
n= \left\{ 1,2,3\right\}\)

b.
\(a_n<0 \\
n^2 -8n+15 <0\\
\Delta =64-60=4 \ \So \sqrt{\Delta}=2 \\
n_1=\frac{8-2}{2}=3 \ \vee \ n_2=\frac{8+2}{2}=5\\
(n-3)(n-5)<0 \\
n\in (3;5) \ \wedge \ n\in N^+ \\
n=4\)

jeśli ciąg ma być geometryczny, to musi być spełniona zależność: a_n^2 =a_{n-1} \cdot a_{n+1} podstawiamy i liczymy (x-2)^2 =2\cdot 10 \\ x^2-4x+4=20\\ x^2-4x-16=0 \\ \Delta=16+4\cdot 16=80 \ \So \sqrt{\Delta}=4\sqrt{5}\\ x_1=\frac{4-4\sqrt{5}}{2} =2-2\sqrt{5} \ \vee \ x_2=\frac{4+4\sqrt{5}}{2} =2+2...

\frac{\partial P}{\partial \alpha} =4r^2 \cdot (\cos \alpha \cdot \cos^3 \alpha +\sin \alpha \cdot 3\cos^2 \alpha \cdot (-\sin \alpha))=4r^2 (\cos^4 \alpha -3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)=\\ =4r^2 \cos^2 \alpha \left( \cos^2 \alpha -3 \sin^2 \alpha \right)=4r^2 \cos^2 \alpha \left( \cos^2 \alpha - \...

zad 5.
\(\cos 4x=\cos(2\cdot 2x)=2\cos^2(2x)-1=2\cdot \cos 2x\cdot \cos 2x-1=\\
2(2 \cos^2x-1)(2 \cos^2 x-1)-1=2(4 \cos^4 x-4 \cos^2 x+1)-1= 8\cos^4x-8 \cos^2x+1\)

Co to jest najmniejszy dodatni wyraz funkcji? Czy może chodzi o najmniejsze dodatnie miejsce zerowe?

zad 6. f(x)=2x^2 \ \So \ f'(x)=4x \\ g(x)=-2(x+1)^2 \ \So \ g'(x)=-4(x+1) liczymy styczne do funkcji f(x) w punkcie (x_f,f(x_f)) oraz do funkcji g(x) w punkcie (x_g,f(x_g)) y=f'(x_f)(x-x_f)+f(x_f) =4x_f (x-x_f)+2x_f^2 =4x_f x -2x_f \\ y=g'(x_g)(x-x_g)+g(x_g)=(-4x_g-4)(x-x_g)-2x_g^2-4x_g -2 =(-4x_g-4...