Forum serwisu

zwiekszylem wyrazenie za jednym zamachem, zwiekszajac licznik (1 na n) i zmniejszajac mianownik (wywalilem n)

hahaha to specjalnie dla tych, którzy za bardzo kochają matematykę

\(\frac{n+1}{3n^3 + n} \le \frac {n+n} {3n^3} = \frac{2}{3n^2}\)

szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{3n^2}=\frac 2 3 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}\) jest zbieżny jako szereg harmoczny, gdzie \(\alpha = 2 \ > \ 1\) stąd nasz szereg też jest zbieżny

proszę

no mozna powiedziec ze elementarnym, rozpatrywane sa tez szeregi z wyrażeniem \(\frac 1 {n^{\alpha}}\) i w zależności od \(\alpha\) mamy do czynienia albo ze zbieżnym albo z rozbieznym szeregiem, natomiast dla \(\alpha=1\) mamy szereg jak wyzej

w kryterium porównawczym wykorzystuje się szeregi harmoniczne, geometryczne i później w dowodzeniu wykazuje się na ich podstawie czy badany szereg jest zbieżny czy rozbieżny, natomiast zbieżność szeregów takich jak harmoniczny czy geometryczny jest dowodzona na wykładzie lub w książkach i już dowodu...

ten szereg, czy też jego suma, nie jest równy \(\frac 1 4\) tylko \(\frac 1 4 \cdot \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n}\),
mozna część całkowitą (czynnik) wyrażenia \(a_n\) pod szeregiem wyciągnąć przed znak sumy

jeszcze raz, tym razem poprawnym szacowaniem: \bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{2(n+n)} = \frac{1}{4n} szereg \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{4n} = \frac 1 4 \cdot \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n} jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, stąd nasz szereg \sum_{n=1 }^{\i...

masz rację, moja wpadka

\(\bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{2(n+1)} \ge \frac{1}{2(n+n)} = \frac{1}{4n}\)

i dalsze rozumowanie analogicznie powtórzyć, już powinno być ok
sorki za tamto

warunek konieczny zbieżności nie mówi nam że szereg jest zbieżny, tylko że jest taki lub taki i to trzeba zbadać, wykazać jaki jest z kryterium porównawczego mamy: \bigwedge_{n \in N} \frac{1}{2n+2} \ge \frac{1}{2n} szereg \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{2n} = \frac 1 2 \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{1}{n...

Ponieważ W(x) dzieli się przez wskazane wielomiany to można zapisać, że: W(x)=a(x-1)(x-13)(x-15) z faktu że W(x) podzielony przez x-12 daje resztę -33 możemy zapisać: W(x) = V(x)(x-12)+R(x) W(12) = R(12) = -33 zatem: W(12) = a(12-1)(12-13)(12-15) = -33 a = -1 więc: W(x) = -(x-1)(x-13)(x-15) W(14) = ...

\( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}} \frac{\sqrt[n]{4^n}}{\sqrt[n]{7^n+7^n}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+4^n}}{\sqrt[n]{7^n}} stąd mamy że \lim_{n\to \infty } \( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac ...

z równania: \alpha (1,x,3) + \beta (2x,4,6) + \gamma (0,1,1)= (0,0,0) otrzymasz układ: \{ \alpha + 2x\beta = 0 \alpha x + 4\beta + \gamma = 0 3\alpha + 6\beta + \gamma = 0 wektory tworzą bazę, jeżeli układ jest oznaczony, czyli \| 1\ 2x\ 0 x \ 4\ 1 3\ \ 6\ 1\| \neq 0 stąd: 4+6x-2x^2-6 \neq 0 -2x^2+6...

na wektorach można by tak:
\(\vec{AB} = [4,\ 2]\)

\(\{ \vec{BC} \perp \vec{AB}
|\vec{BC}| = |\vec{AB}|\) \(\ \ \Rightarrow \ \( \vec{BC} = [2, \ -4] \ \vee \ \vec{BC} = [-2, \ 4]\ \)\)

stąd \(C = (9, \ -1) \ \vee \ C=(5, \ 7)\)

z podobieństwa odpowiednich trójkątów byłoby tak: przyprostokątne: a = 4x, \ b = x przeciwprostokątna podzielona na dwa kawałki: c = d+e z podobieństwa trójkątów mamy: \frac d a = \frac a c oraz \ \frac e b = \frac b c stąd mamy: d = \frac{a^2}{c} oraz e = \frac {b^2}{c} czyli \frac d e = \frac{a^2}...