Forum serwisu

Wg mnie: Dla \(x>0\), z nierówności Cauchy'ego o średnich, mamy \[f(x) = x^2 + \frac{m^2+7}{2x}+\frac{m^2+7}{2x}\ge3\sqrt[3]{x^2\cdot\frac{m^2+7}{2x}\cdot\frac{m^2+7}{2x}}={3\over2}\sqrt[3]{2(m^2+7)^2}\] i równość zachodzi dla \[x^2 = \frac{m^2+7}{2x}=\frac{m^2+7}{2x}\iff x=\frac{\sqrt[3]{4(m^2+7)}}...

Niech krawędź sześcianu ma długość \(a>0\), \(M'\) będzie rzutem prostokątnym punku \(M\) na podstawę \(ABCD\) sześcianu, \(\alpha\) - interesującym kątem dwuściennym. Wtedy bok sześciokąta ma długość \({\sqrt2\over2}a\) \(\dfrac{P_P}{P_{sz}}=\dfrac{6\cdot\frac{\left({\sqrt2\over2}a\right)^2\sqrt3}{...

Zrób schludny rysunek, przyjmij oznaczenia jak w punkcie b). Zauważ, że przekrojem osiowym jest prostokąt o bokach \(2a\times H\), czyli \(4a+2H=40\iff H=20-2a\) i objętość graniastosłupa opisuje funkcja \[v(a)=6\cdot{a^2\sqrt3\over4}\cdot(20-2a)=3\sqrt3(-a^3+10a^2)\wedge a\in(0;10)\] Pozostaje wska...

Aby warunki zadania były spełnione, równanie
\[x^2 -mx +9=0\]
musi mieć dwa rożne pierwiastki, każdy różny od \(-2\), czyli
\[\begin{cases}(-m)^2-4\cdot1\cdot9>0\\ (-2)^2-m\cdot(-2)+9\ne0\end{cases}\]
Pozdrawiam

Jeżeli \(x>0\) będzie krawędzią podstawy. Wtedy \(6\cdot{x^2\sqrt3\over4}\cdot h=9\iff h={2\sqrt3\over x^2}\) i funkcja pola powierzchni przyjmie postać \(y=p(x)=2\cdot6\cdot{x^2\sqrt3\over4}+6x\cdot{2\sqrt3\over x^2}=3\sqrt3\cdot\left(x^2+{4\over x}\right)\wedge D=(0;+\infty)\) Pozostaje wskazanie ...

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) wyraża się wzorem S_n=3n^2+5n dla n\ge1 . a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów nieparzystych ciągu arytmetycznego (a_n) Przyjmuję, że interesuje nas suma wyrazów o indeksach nieparzystych! \(a_1=S_1=8\\ a_1+a_2=8+8+r=S_2=22\So r=\color{red}{6...

Rahel pisze: ↑14 kwie 2024, 19:50 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) wyraża się wzorem \(S_n=3n^2+5n\) dla \(n\ge1\).

b) Oblicz granicę \(\Limn\frac{S_n}{2n^2+7}\).

\(\Limn\frac{S_n}{2n^2+7}=\Limn\frac{3n^2+5n}{2n^2+7}=\Limn\dfrac{3+{5\over n}}{2+{7\over n}}={3\over2}\)

Pozdrawiam

Zrób schludny rysunek, niech \(a.b\) będą podstawami, \(|AD|=|MC|=h\) wysokościami i \(|BC|=c\) ramieniem pochyłym. \(h=2r\) z \(\Delta MBC\): \({h\over c}=\sin\alpha\iff c={2r\over\sin\alpha}\) \(a+b=h+c\iff a+b=2r+{2r\over\sin\alpha}\) \(a+b+h+c=2(a+b)=2\left(2r+{2r\over\sin\alpha}\right)\) \(P_{A...

Jeżeli \(v\) = prędkość w km/h, \(t\) = czas ruchu, w h, pierwszego rowerzysty, to zachodzi układ: \[\begin{cases}v\cdot t=36\\ (v+3)\cdot\left(t-{10\over60}\right)=36\end{cases}\wedge \begin{cases}v>0\\ t>{10\over60}\end{cases}\\ \begin{cases}v\cdot t=36\\ v=18t-3\end{cases}\So 6t^2-t-12=0\] \(t=1,...

\(\sqrt{x^2-4x+4}+2|x-2|<3x+6\\
|x-2|+2|x-2|<3x+6\\
|x-2|<x+2\\
\begin{cases}x+2<0\\ x\in\emptyset\end{cases}\vee\begin{cases}x+2\ge0\\ -x-2<x-2<x+2\end{cases}\\
x\in(0;+\infty)\)
Pozdrawiam

Ponieważ \(\tg\left(\alpha-{\pi\over3}\right)=\frac{\tg\alpha-\sqrt3}{1+\tg\alpha\cdot\sqrt3}\) to musi \(\frac{\tg\alpha-\sqrt3}{1+\tg\alpha\cdot\sqrt3}=2\\\ldots\\ \tg\alpha=\frac{-\sqrt3-2}{2\sqrt3-1}= \frac{(-\sqrt3-2)(2\sqrt3+1)}{(2\sqrt3-1)(2\sqrt3+1)}=\ldots\) Pozdrawiam PS. Ogarnij, proszę, ...

\(\Limn\frac{n^2-4}{2n^2+8}\cdot\Limn\frac{(pn-1)^3+8}{(p-2)n^3+4}=1\iff\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{p^3}{p-2}=1\wedge p\ne2\right)\\
p^3-2p+4=0\\
(p+2)(p^2-2p+2)=0\\ p=-2\)
Pozdrawiam

Ponieważ
\(a_1+a_3+a_5+\ldots+a_{2023}=10+10^3+10^5+\ldots+10^{2023}=\underbrace{101010\ldots10}_{1012\text{ cyfr }1}\)
to suma cyfr tej liczby jest równa \(1012\).
Suma cyfr liczby \(K=\underbrace{101010\ldots10}_{1010\text{ cyfr }1}3034\) jest równa \(1020\).

Pozdrawiam

Niech \(M\) będzie środkiem \(\overline{AB}\). wtedy \(\vec{AM}=[3,1]=\vec{MB}\So B(2+3,-2+1)\) \(\vec{BC}=[-2,6]\So C(5-2,-1+6)\) \(\vec{AC}=[3+1,5+3]\) \(|\vec{AB}|^2+|\vec{BC}|^2=40+40=80=|\vec{AB}|^2\So \vec{AC} \perp \vec{BC} \) \(P_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot |\vec{AB}|\cdot|\vec{BC}|={1\over...

\(|\Omega|=4\cdot5\cdot6=120\\
A=\{100,121,144,225,324,400,441\}\So |A|=7\\
B=\{125,342\}\So |B|=2\\
C=\{100,144,323,400\}\So |C|=4\)
Zakładając jednakowe p-wa zdarzeń elementarnych, z definicji Laplace'a:
\(p(A)={7\over120},\ p(B)={2\over120}={1\over60},\ p(C)={4\over120}={1\over30}\)

Pozdrawiam