Forum serwisu

1)\,S=x^2+\frac{7}{x}\\ x\in(0,7)\\ \lim\limits_{x\to 0}S=\infty\Rightarrow\text{ brak maksimum }\\ \lim\limits_{x\to 7}S=50\\ S'=2x-\frac{7}{x^2}=0\\ 2x^3-7=0\\ x=\sqrt[3]{\frac{7}{2}}\\ S''=2+\frac{14}{x^3}\\ S''\left(\sqrt[3]{\frac{7}{2}}\right)=6>0\Rightarrow\text{ minimum }S\left(\sqrt[3]{\fra...

t=\ln x\\ y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\\ y''=\frac{d}{dx}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}\right)=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\frac{dy}{dt}=-\frac{1}{x^2}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{x^2}\frac{d^2y}{dt^2}\\ 2x^2\left(-\...

\mathbb{R}^4\ni x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}\\ \varphi(x)=M_A^B(\varphi)\cdot x=\begin{bmatrix}2&3&1&1\\1&1&0&1\\1&4&3&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}3\\1\...

Wszystkich możliwości jest {52\choose 5} . Tych bez króli {48\choose 5} . Z jednym lub bez pików 13\cdot{39\choose 4}+{39\choose 5} . Równocześnie bez króli i z jednym lub bez pików 12\cdot{36\choose 4}+{36\choose 5} . W sumie możliwości spełniających warunki jest {52\choose 5}-{48\choose 5}-13\cdot...

B(z)=\sum\limits_{i=0}^\infty b_iz^i=\sum\limits_{i=0}^\infty i^2z^i=z\sum\limits_{i=1}^\infty i^2z^{i-1}=z\left(\sum\limits_{i=1}^\infty iz^i\right)'=z\left(z\left(\sum\limits_{i=1}^\infty z^i\right)'\right)'=z\left(z\left(\frac{z}{1-z}\right)'\right)'=\\ =z\left(\frac{z}{(1-z)^2}\right)'=\frac{z(...

\(5)\,a_n=\frac{{2n\choose n}}{n!}=\frac{(2n)!}{(n!)^3}\\
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2(2n+1)}{(n+1)^2}<1\quad ,n\ge 3\\\)
zbieżny bezwzględnie

A nieindukcyjnie np. tak: S_n=\sum\limits_{k=0}^nk^3\\ S_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=0}^n(k+1)^3=\sum\limits_{k=0}^nk^3+3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^nk+\sum\limits_{k=0}^n1\\ S_{n+1}-S_n=(n+1)^3=3\sum\limits_{k=0}^nk^2+3\sum\limits_{k=0}^n...

Z tego tw. wynika, że jeśli baza ma \(n\) wektorów, to z dowolnym podzbiorze \(V\) może być maksymalnie \(n\) wektorów niezależnych. Gdyby druga baza miała więcej wektorów, to nie byłyby niezależne.

18=2\cdot 3^2 W iloczynie 123! jest: 41 liczb podzielnych przez 3 13 liczb podzielnych przez 3^2 4 liczby podzielne przez 3^3 1 liczba podzielna przez 3^4 61 liczb podzielnych przez 2 Zatem 123! jest podzielne przez 3^{41+13+4+1}=3^{59}=3\cdot(3^2)^{29} , więc i przez (2\cdot 3^2)^{29}=18^{29} , cz...

D:\\ x^2+y^2+2(y-x)\le 0\\ (x-1)^2+(y+1)^2\le 2\\ \begin{cases}x=\sqrt{2}\cos\varphi\\y=\sqrt{2}\sin\varphi\\\varphi\in[0,2\pi)\end{cases}\\ \int\limits_\gamma 2y\,dx+3x\,dy=\int\limits_0^{2\pi}2y(\varphi)\cdot\frac{dx(\varphi)}{d\varphi}+3x(\varphi)\cdot\frac{dy(\varphi)}{d\varphi}\,d\varphi=\int\...

\displaystyle{ \iiint\limits_V 1+x^2+y^2\,dx\,dy\,dz=\begin{Bmatrix}x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\\z=z\end{Bmatrix}=\int\limits_0^4\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{2-r\cos\varphi}^{6-r\cos\varphi}(1+r^2)r\,dz\,d\varphi\,dr=\\ =4\int\limits_0^4\int\limits_0^{2\pi}r(1+r^2)\,d\varphi\,dr=8\pi\int\lim...