Forum serwisu

Trapez ABCD jest podobny do trapezu SKCD w skali 2 (trapez przecięty prostą równoległą dzielącą jedno ramie na dwa równe odcinki) To nie jest prawda. Odcinek który łączy środki ramion w trapezie jest równy średniej arytmetycznej podstaw: |SK| = \frac{a+b}{2} . Okej, czyli powinienem skorzystać z po...

W ogólności: \( |SK| \neq \frac{1}{2}a \)
Reszta jest poprawna.

Icanseepeace pisze: ↑09 kwie 2021, 16:50 \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1 \)

Mała poprawka i mam nadzieję, że jedyna:
\( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{2}{3} \)

\sqrt[3]{n }\left(\sqrt[3]{n^2+1}-\sqrt[3]{n^2-1} \right) =\sqrt[3]{n } \frac{n^3+n-n^3+n}{\sqrt[3]{(n^2+1)^2}+\sqrt[3]{n^2+1}\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{(n^2-1)^2}} No to rozbieżny (nie spełnia warunku koniecznego) W liczniku po prawej stronie powinno być: n^2 + 1 - n^2 + 1 co oznacza, że szereg speł...

3.62 \sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\right) a_n = \frac{1}{n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{n} > \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n}}{n} = \frac{2}{\sqrt{n}} Ponieważ szereg \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\sqrt{n}} jest szeregiem rozbieżnym jako ...

3.53 \sum\limits _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}}\right) Stosujemy kryterium porównawcze w postaci granicznej. Przyjmujemy: a_n = \sqrt[n]{\frac{1}{n^{n+1}}} oraz b_n = \frac{1}{n} i badamy granicę: \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{\...

(n+1)^n < n^{n+1} dla n \geq 3 Sprawdzenie dla n=3: 4^3 = 64 < 81 = 3^4 Założenie: (n+1)^n < n^{n+1} Teza: (n+2)^{n+1} < (n+1)^{n+2} Dowód: L = (n+2)^{n+1} = (n^2 + 2n)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{n+1}} < (n^2 + 2n + 1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{n+1}} < (n^2 + 2n + 1)^{n+1} \cdot \frac{1}{(n+1)^n} = = (n...

Widzę, że nie mogę edytować swoich wpisów, zatem. Ze względu na: Nie wiem dlaczego ale początkowo przeczytałem w (-\infty , -2) zamiast Niech x_1 , x_2 \in (-\infty , -2) powinno być: Niech x_1,x_2 \in (-\infty , 2) . Reszta dowodu pozostaje bez zmian Ponadto linijka: Można również w analogiczny spo...

Nie wiem dlaczego ale początkowo przeczytałem w \( (-\infty , -2) \)
Dokonałem edycji mojego poprzedniego postu tak aby był poprawny.

Niech x_1 , x_2 \in (-\infty , -2) będą takie, że x_1 < x_2 . Wtedy: f(x_2) - f(x_1) = -2(x_2^2 - x_1^2) + 8(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(8 - 2(x_1 + x_2)) >0 Ponieważ x_2 - x_1 > 0 \wedge 8 - 2(x_1 + x_2) > 0 Co kończy dowód. Można również w analogiczny sposób pokazać, że funkcja jest rosnąca nawet na ...

Opcja 1 jest bardziej uniwersalna ponieważ możesz ją stosować do nierówności zarówno mocnych jak i słabych. Drugą opcję możesz zastosować tylko dla nierówności mocnych. Dla kontrprzykładu: \sqrt{7+x} \le \frac{7+x}{2} 1) gdy \frac{7 +x}{2} > 0 otrzymujemy x \ge -3 2) gdy \frac{7 + x}{2} \le 0 to prz...