Forum serwisu

Niestety nie c)

Niech a, b, c>0 rzeczywiste. Istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych x, y które spełniają nierówność \(a^x > cb^y\) jeśli:

a) a>1 lub b < 1
b) a<1 lub b<1
c) a<1 oraz b<1
d)a<1 oraz b>1 ?

Dany jest trójkąt ABC oraz G−punkt przecięcia środkowych. Niech okrąg przechodzący przez A,B,G przecina BC w D≠B. Wiedząc że AG jest dwusieczną kąta DAC oraz \(AD=8, BD=2\), oblicz AC.

Niech \(a,b,c\in\nn\setminus\{0\}\) oraz \(ac=b^2+b+1.\)
Wykaż ze istnieje \((x,y)\) (obie całkowite) rozwiązanie równania \(ax^2-(2b+1)xy+cy^2=1.\)

W kwadracie ABCD oznaczmy przez M środek boku AB, niech P będzie rzutem prostokątnym punktu B na prostą CM oraz niech N będzie środkiem odcinka CP. Dwusieczna kąta DAN przecina prostą DP w punkcie S. Wykaż że BMSN jest równoległobokiem.

Niech ABC bedzie trójkatem w którym AB=c , BC=a,AC=b . Niech x,y\in\mathbb{R} takie że \frac{1}{x} +\frac{1}{y+z} = \frac{1}{a} , \frac{1}{y} +\frac{1}{x+z} = \frac{1}{b} , \frac{1}{z} +\frac{1}{y+x} = \frac{1}{c} . Wykaż żę x(p-a) + y(p-b) + z(p-c) = 3r^2 + 12Rr , gdzie p połowa owodu, R- promień o...

A teraz? ::)

W trójkacie ABC o bokach \(BC=a , AC= b , AB=c\) , poprowadzono dwusieczne \(AA', BB',CC'.\) Wykaż że
\(\frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} \) =\(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Znaleźć wszystkie funkcje \(f(x)=ax^2+bx+c\), takie że \(f(0)\) jest liczbą całkowitą , \(f(n+\frac{1}{n})>n^2-n+1\) oraz \(f(n+\frac{n-1}{n})<n^2+n-1\), n-naturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos(12x)=5\sin(3x)+9\tg^2x+\ctg^2x\)

Trzy okręgi styczne ze sobą są wpisane w półkole, jak na zdjęciu. Promienie tych dwóch wynoszą 2 i 3. Oblicz promień trzeciego.

Dany jest czworokąt \(ABCD\) taki że \(|AB|=|AD|=1\) oraz kąt \(|\angle BAD|=90^o\). Niech \(CB=c, CA=b\) oraz \(CD=a\). Wykaż
że \((a−c)^2\le 2b^2\le(a+c)^2\).

Dany jest trapez \(ABCD\) w którym \(AD||BC\) oraz AB=2 . Dwusieczna kąt BAD przecina prostą BC w punkcie E. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABE\) jest styczny do AB w M oraz do BE w H. Oblicz kat BAD, jeśli \(MH=1.\)

Różne punkty A oraz D leżą po tej samej stronie prostej BC, tak że \(|AB| = | BC|= |CD|\) oraz proste AD i BC są prostopadłe. Niech E będzie punktem przecięcia prostych AD oraz BC. Wykaże że \(||BE| − |CE|| < \sqrt{3}|AD| .\)

Dwa takie same trójkąty równoboczne są nałożone na siebie tak jak na rysunku. Wykaż ze suma długości odcinków czerwonych jest równa sumie odcinków niebieskich.