Forum serwisu

Uzasadnij, że podane zbiory są mierzalne względem miary Lebesgue’a: 1. A = D(x0,r)\{x0}⊂Rn, gdzie D(x0,r) ⊂R^n jest kulą domkniętą o środku w punkcie x_0 oraz promieniu r > 0. 2. B = D_f ⊂R, gdzie f(x) = 1 /(x−1)(x−2) oraz D_f oznacza dziedzinę funkcji f. 3. C = {n^2 −1 | n ∈N}⊂R. 4. D = [0,1]\Q⊂R. ...

Obliczyć całkę Lenesgue’a, korzystając z odpowiednich twierdzeń:
1. ∫[0,1] sin(x) dl
2. ∫[1,e] ln(x) dl

Obliczyć całkę Lebesgue’a z definicji:
1. ∫[0,3] f(x) dl, gdzie f(x) = 2\(χ\)[0,1](x) + 5\(χ\)[2,3](x).
2. ∫[0,1] f(x) dl, gdzie f(x) = x + 1.
3. ∫[−1,1] f(x) dl, gdzie f(x) = x.

Udowodnić, że ||x|| = \(\sqrt{ <x,y>}\) jest normą, gdzie < , > jest iloczynem skalarnym.

Udowodnić, że \(d: \rr x \rr \to \rr\) określone wzorem d( (x1, y1) , (x2,y2)) = \(\sqrt{ 7(x1 - x2)^2 + 4(y1 - y2)^2}\) jest metryką.

1) \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}= \frac{1}{1 \cdot 2} -\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}-\frac{1}{4 \cdot 5}+...= \frac{2-1}{1 \cdot 2} -\frac{3-2}{2 \cdot 3}+\frac{4-3}{3 \cdot 4}-\frac{5-4}{4 \cdot 5}+...=\\= 1- \frac{1}{2}- \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + \frac{1}{3}- \frac{1}...

kerajs pisze:\(f(x)=2sin^2(x)-1=-\cos 2x=-(1- \frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^4}{4!}-\frac{(2x)^6}{6!} +... )=
\sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^{n+1} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}\)

A mogłabym poprosić o wytłumaczenie?

A czy takie rozwiązanie jest prawidłowe? x_0 = 0 a_n (klamra) a_{4n} = 3n , n \ge 1 (klamra) a_{4n+k} = 3n + k , n \ge 1, k=1,2,3 Teraz obliczam granicę dolną: \Lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{|a_n|} = sup (0, + \infty ) = + \infty R = \frac{1}{\Lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}} = \frac{1}{+ \infty } ...

Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcyjnego fn: \(\rr \to \rr\) określonego wzorem:

\(f_n(x) = \sqrt{n} \ln ( 1 + \frac{x^2} { \sqrt{n} } )\)

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję \(f(x)=2sin^2(x)-1\)

Wyznacz promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego

\(\sum_{n=0}^{ \infty } 3nx^{4n}\)

Obliczyć sumy szeregów:

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}\)

\(\sum_{1}^{ \infty } \frac{n^2}{9^n}\)

Liczba a jest większa od liczby b o 20%. Liczbę a powiększono o 10%, a liczbę b pomniejszono o 10%. Oblicz o ile procent większa jest liczba powiększona od pomniejszonej.

1.Czy możliwe jest, aby gra w postaci strategicznej posiadała punkt równowagi (s1, ..., sn) taki, że strategia s1 jest dominowana? 2.Podać postać strategiczną gry z niekompletną informacją. 3.Podać przykład gry w postaci ekstensywnej i jej punktu równowagi, który nie jest punktem doskonałej równowagi.

1.Zdefiniować pojęcie punktu równowagi w sensie Nasha.

2.Podać przykład gry dwuosobowej niemającej punktu równowagi.

3.Podać przykład gry dwuosobowej G=(S1, ..., Gn, u1, ..., un) i jej punktu równowagi (s1, s2) takiego, że strategia s1 jest słabo dominowana.

Wyznaczyć szereg Taylora funkcji f(x)= 1 / (x+1)(x-2) wokół punktu xo=0. Wyznaczyć szereg Taylora funkcji f(x)= 1/ (x-2) wokół punktu xo=3.

Rozwinąć szereg Fouriera sinusów funkcję f(x)=cosx na przedziale (0, \pi )