Forum serwisu

Klasyczny pisze:
2.
\(\sum_{n=1}^{ \infty }\)\(\frac{n^2*7^n}{10^n}\)

\(\Lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n^2 \cdot 7^n}{10^n} }= \Lim_{n\to \infty} \frac{7}{10} \sqrt[n]{n^2} = \frac{7}{10} \cdot 1= \frac{7}{10} < 1\)
Szereg jest zbieżny.

1. \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{100^n}{n!} \Lim_{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}= \Lim_{n\to \infty } \frac{100^{n+1}}{(n+1)!}: \frac{100^n}{n!} = \Lim_{n\to \infty } \frac{100^n \cdot 100}{n!(n+1)} \cdot \frac{n!}{100^n} = \Lim_{n\to \infty } \frac{100}{n+1}=0<1 Szereg jest zbieżny.

1.Udowodnić, że suma argumentów liczb zespolonych z i w jest argumentem iloczynu zw. Niech z=|z|(cos \phi +isin \phi) , \ czyli \ \phi = argz \\ w=|w|(cos \psi +i sin \psi), \ czyli \ \psi =arg w wtedy mamy: z \cdot w =|z|(cos \phi + isin \phi) \cdot |w|(cos \psi +i sin \psi) \\ z \cdot w =|z| \cdo...

e) \(5+8+11+...+(3n+2)= \frac{5+3n+2}{2} \cdot n= \frac{3n^2+7n}{2}\)

\(\Lim_{n\to \infty } \frac{5+8+11+...+(3n+2)}{(3n-1)(n+2)}= \Lim_{n\to \infty } \frac{3n^2+7n}{6n^2+10n-4} = \frac{3}{6} =\frac{1}{2}\)

Założenie: x+ \frac{2π}{3} \neq kπ , \ k \in C \\ x \neq - \frac{2π}{3} + kπ , \ k \in C ctg(x+ \frac{2π}{3} ) < \sqrt{3} \\ \frac{π}{6} +kπ< x+ \frac{2π}{3}< π+kπ, \ k \in C \\ - \frac{π}{2}+kπ<x< \frac{π}{3} +kπ, \ k \in C \wedge x \in<-π,0> \\ x \in <-π,- \frac{2π}{3} ) \cup <- \frac{π}{2} ,0>

b) \(( \frac{2 \sqrt[3]{x}-3 }{ \sqrt[3]{x} +x^2})'= \frac{ \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^2} }( \sqrt[3]{x}+x^2)-( 2 \sqrt[3]{x}-3 ) \cdot ( \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} +2x) }{ ( \sqrt[3]{x} +x^2 )^2 } = \frac{18x \sqrt[3]{x^2}-10x^2+3 }{3 \sqrt[3]{x^2}( \sqrt[3]{x} +x^2)^2 }\)

a) \((e ^{9lnx-12x^2})'=e^{9lnx-12x^2} \cdot ( \frac{9}{x}-24x)=( \frac{9}{x}-24x)e^{9lnx-12x^2}\)

a) sin3x-sin2x=sinx sin3x-sinx-sin2x=0 \\ 2sinxcos2x- 2sinxcosx=0 \\ 2sinx(cos2x-cosx)=0 \\ 2sinx \cdot (-2) \cdot sin \frac{3x}{2} sin \frac{x}{2} =0 \\ sinx=0 \vee sin \frac{3x}{2} =0 \vee sin \frac{x}{2} =0 \\ x=kπ \vee \frac{3x}{2} =kπ \vee \frac{x}{2} =kπ , \ k \in C \\ x=kπ \vee x= \frac{2kπ}{...

\beta =180°-( \alpha + \gamma ) \\ \frac{ \beta }{2} = 90° - \frac{ \alpha + \gamma }{2} L= \frac{ ctg \frac{ \alpha }{2} + ctg \frac{ \beta }{2} }{ ctg \frac{ \beta }{2} + ctg \frac{ \gamma }{2} }= \frac{ sin( \frac{ \alpha}{2}+ \frac{ \beta }{2} )}{ sin \frac{ \alpha}{2} sin \frac{ \beta }{2} } :...

cos( \frac{x}{6}+ \frac{π}{5} )=-1 \\ cos( \frac{x}{6}+ \frac{π}{5} )=- \frac{1}{2} \\ \frac{x}{6} + \frac{π}{5} = \frac{2π}{3} +2kπ \vee \frac{x}{6} + \frac{π}{5} = \frac{4π}{3} +2kπ \\ \frac{x}{6} = \frac{7π}{15} +2kπ \vee \frac{x}{6} = \frac{17π}{15} +2kπ \\ x= \frac{14π}{5} +12kπ \vee x= \frac{...

cos^22x+4cos^2x=2 \\ (2cos^2x-1)^2+4cos^2x=2 \\ 4cos^4x-4cos^2x+1-4cos^2x=2 \\ 4cos^4x= 1 \\ cos^4x= \frac{1}{4} \\ cos^2x= \frac{1}{2} \\ cosx= \frac{ \sqrt{2} }{2} \vee cosx=- \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ x=- \frac{π}{4} +2kπ \vee x= \frac{π}{4} +2kπ \vee x= \frac{3π}{4} +2kπ \vee x= \frac{5π}{4} +2kπ...

Zauważ, że dodajesz kwadraty kolejnych liczb naturalnych od 1do n.
Dla n=1 mamy L=\(1^2\)
Dla n=2 mamy L=\(1^2+2^2\)
... itd.

(2cosx -1)(sinx-m)=0 \\ cosx= \frac{1}{2} \vee sinx=m \\ cosx = \frac{1}{2} \So x=- \frac{π}{3} \vee x= \frac{π}{3} Podane warunki będą spełnione, gdy równanie sinx=m będzie mieć dwa rozwiązania różne od - \frac{π}{3} \ i \ \frac{π}{3} Zatem m \in <-1;1) \bez \left\{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}, \frac{ ...