Forum serwisu

Wyznacz wszystkie \(m \in N\) i \(n \in N\) (\(m>0,\ n>0\)) takie że wszystkie rozwiązania równania \((x^2 − mx+n)(x^2 −nx+ m)=0\) są liczbami naturalnymi wiekszymi od zera.

Dwa okręgi przecinają prostą tak jak na rysunku. Wykaż równość kątów ABC oraz DEM.

Wykaż że \(|\frac{a}{b}-\frac{1}{\sqrt{2}}| > \frac{1}{4b^{2}}\) dla a,b∊N−{0}.

Wyznacz wartości parametru p dla którego \(x^5 − px−1 = 0\) ma dwa pierwiastki r oraz s które są pierwiastkami równania \(x^2−ax+b= 0\) dla pewnych liczb całkowitych a,b.

Niech a będzie liczbą całkowitą niepodzielną przez 5. Wykaż że \(x^5−x+a\) nie da się rozłożyć na czynniki w liczbach całkowitych.

Ile jest par liczb całkowitych spełnia równanie \(a^{{b}^2}=b^{2a}\), gdzie a > 0 oraz |b|>|a|.

Niech \(x_1 , x_2\) będą rozwiązaniami równia \(x^2-2ax -1 = 0\) , gdzie a>0-naturalne. Pokąż że dla każdej liczby naturalnej \( n \in\mathbb{N}\) wyrażenie \(W=\frac{1}{8}(x_1^{2n}-x_2^{2n})(x_1^{4n}-x_2^{4n})\) jest iloczynem kolejnych liczb całkowitych.

Ok, ale ten ostatni krok jest najtrudniejszy do wykazania właśnie...

Pokaż że dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\)mamy
\(\sum_{k=1}^{n} \frac{2^k}{\sqrt{k+0,5}} \le 2^{n+1}\sqrt{n+1}-\frac{4n^{3/2}}{3}\)

Niech dla każdej liczby naturalnej n>0 zachodzi \(NWW[n, n + 1] > NWW[n, n + 2] >...> NWW[n, n + 35]\). Wykaż że\( NWW[n, n + 35] > NWW[n,n + 36].\)

Wykaż ze
\(\sum_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}^{-1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\)

Niech D będzie zbiorem dzielników liczby 2^{16} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot7^2 . Niech C będzie podzbiorem D spełniającym warunek: liczby a oraz b są dwoma dolnymi elementami zbioru C , a\ne b , takimi że NWW(a,b) nie należy do C . Określ, ile elementów może mieć maksymalnie zbiór C .

Wykaż że \( \frac{2^{2^{2^{n+1}}}+2^{2^n}+1}{3} \) tworzy liczbę złożoną dla każdego n>0 naturalnego.

I jak tu będzie?

A jaka odpowiedź będzie na to pytanie z zadania?