Forum serwisu

Wtedy, po podstawieniu do pierwotnej postaci, mamy: \(L=2^n\), a \(P=2^{n-1}\).
Aby zaszła równość wszystkie czynniki w przekształconej postaci nierówności musiałyby być równe 1.
Stąd otrzymujemy m.in. :
\(a_1 \cdot a_2=1\) oraz \(a_1=a_n=0\).
A te warunki wzajemnie się wykluczają.

Tak. Kiedy dowolny czynnik iloczynu po prawej stronie równania jest równy 0, nierówność jest oczywiście prawdziwa. Niech teraz wszystkie te czynniki będą dodatnie. Nierówność przepiszmy w postaci: \frac{ \sqrt{(1+a_1^2)(1+a_2^2)} }{a_1+a_2} \cdot \ldots \cdot \frac{ \sqrt{(1+a_{n-1}^2)(1+a_n^2)} }{a...

Prawdą jest, że: 1+a^2 \ge 2a . Stosując to także dla zmiennych b i c : \frac{1+a^2}{b+c}+ \frac{1+b^2}{a+c}+ \frac{1+c^2}{a+b} \ge \frac{2a}{b+c}+ \frac{2b}{a+c} + \frac{2c}{a+b} , czyli pozostaje pokazać: \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2} , a to jest znana nierówność Nes...

Zakładam, że m \in \nn _{+} oraz a , b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi. 1. Sprawdzam dla m=1 : 1+ \frac{a}{b} +1+ \frac{b}{a} \ge 3 \\ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 1 , co jest prawdą (zachodzi mocniejsza nierówność \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 równoważna nierówności (a-b)^2 \ge 0 , później j...

Co powiesz o zastosowaniu nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech liczb dodatnich, a mianowicie: \frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} lub równoważnie x+y+z \ge 3 \cdot \sqrt[3]{xyz} . Dowód: Dla wygody oznaczamy k=k_{1}^3 dla k=x, y, z . Mamy teraz: x_{1}^3+y_{1}^3+z_{1}^3 \ge...

Prawdziwa jest nawet nierówność ostra. Możemy zastosować nierówność Jensena dla funkcji f(x)= \frac{1}{x} i wag równych po \frac{1}{n+1} . Mamy f''(x)= \frac{2}{x^{3}}>0 , zatem: \frac{1}{n+1} \cdot \sum_{i=n}^{2n} f(i) \ge f( \frac{1}{n+1} \cdot \sum_{i=n}^{2n} i)=f( \frac{1}{n+1} \cdot \frac{3n(n...

@Galen, tam mamy znak mnożenia, a nie minus :). Ja wymyśliłem takie coś (oznaczenia na rysunku, wszystko powinno być wiadome, zauważmy też, że kąty \alpha i \beta są ostre): Wiemy, że 2PS=PR , zatem wspomagając się tw. cosinusów dla trójkątów O_{1}SP, O_{2}RP otrzymujemy: 2 \sqrt{4-4cos(180^ \circ -...

Jako, że: P= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} \\ P= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} \\ P= \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} , to: a= \frac{2P}{h_{a}} \\ b= \frac{2P}{h_{b}} \\ c= \frac{2P}{h_{c}} Ze wzoru Herona: P= \sqrt{ \frac{1}{16} (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}= \\ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{(\frac...

Przeliczamy: 40m/min=2,4km/h . Drugi uczeń jedzie więc z prędkością 12,4km/h . Niech t oznacza czas(w godzinach) jaki upłynął od wyjazdu wolniej jadącego ucznia aż do spotkania. Mamy równanie: 12,4(t- \frac{1}{12})=10t \\ 62t- \frac{31}{6}=50t \\ 12t= \frac{31}{6} \\ t= \frac{31}{72} h. Odległość od...

b) Łatwo zauważyć, że: sin19^ \circ =cos71^ \circ , cos367^ \circ =cos7^ \circ , sin282^ \circ =-sin78^ \circ . Zatem: \frac{sin19^ \circ sin7^ \circ +sin71^ \circ cos367^ \circ }{2sin282^ \circ }= \frac{cos71^ \circ sin7^ \circ +sin71^ \circ cos7^ \circ }{2sin282^ \circ } = \frac{sin78^ \circ }{2si...

c) 3cosx=m+mcosx \\ cosx(3-m)=m Dla m=3 dostajemy sprzeczność, niech m \neq 3 . Wówczas: cosx= \frac{m}{3-m} . Aby równanie miało rozwiązanie, to musi zachodzić: 1 \ge \frac{m}{3-m} \ge -1 . Pierwsza nierówność: 1 \ge \frac{m}{3-m} \\ 0 \ge \frac{m}{3-m}- \frac{3-m}{3-m}= \frac{2m-3}{3-m} \\ 0 \ge (...

c) Mamy: log_{ \frac{1}{2}}ctg10^ \circ + log_{ \frac{1}{2}}ctg20^ \circ+...+log_{ \frac{1}{2}}ctg80^ \circ = \\ = (log_{ \frac{1}{2}}ctg10^ \circ+log_{ \frac{1}{2}}ctg80^ \circ)+...+(log_{ \frac{1}{2}}ctg40^ \circ+log_{ \frac{1}{2}}ctg50^ \circ)= \\ = log_{ \frac{1}{2}}(ctg10^ \circ \cdot ctg80^ \c...

\frac{ctg \frac{ \alpha}{2} + ctg \frac{\beta}{2} }{ctg \frac{\beta}{2}+ctg \frac{\gamma}{2} }= \frac{ \frac{cos \frac{\alpha}{2} }{sin \frac{\alpha}{2} } + \frac{cos \frac{\beta}{2} }{sin \frac{\alpha}{2} } }{ \frac{cos \frac{\beta}{2} }{sin \frac{\beta}{2} }+ \frac{cos \frac{\gamma}{2} }{sin \fra...

b) \sqrt{3}cos2x+sin2x- \sqrt{2}=0 \\ \frac{ \sqrt{3} }{2}cos2x+ \frac{1}{2}sin2x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ sin( \frac{ \pi}{3})cos2x+cos( \frac{ \pi}{3})sin2x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ sin(2x+ \frac{ \pi}{3})=\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ 2x+\frac{ \pi}{3}= \frac{\pi}{4}+2k \pi \vee 2x+\frac{ \pi}{3}=\frac...