Forum serwisu

Funkcje a+(b-a)x i f(x) są ciągłe, więc ich złożenie f(a+(b-a)x) też jest funkcją ciągłą, zatem jest całkowalna na przedziale [a,b] . \int_{a}^{b} f(x)dx=\|x=a+(b-a)t\\dx=(b-a)dt\\t=\frac{x-a}{b-a}\\x=a \Rightarrow t=0\\x=b \Rightarrow t=1\|= \int_{0}^{1} f[a+(b-a)t](b-a)dt= (b-a)\int_{0}^{1} f[a+(b...

f(z)=\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-x-iy}=\frac{1-x+iy}{(1-x-iy)(1-x+iy)}=\frac{1-x+iy}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1-x}{(1-x)^2+y^2}+i\frac{y}{(1-x)^2+y^2} \\ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}=\frac{e^{-y+ix}-e^{y-ix}}{2i}=\frac{e^{-y}e^{ix}-e^{y}e^{-ix}}{2i}= =\frac{e^{-y}(\co...

p=3\%/6\ mies.=0,03 r= 4\%/rok=0,04 m - wplata w - wyplata = 48\ 000 s_n - suma\ po\ n\ wplatach q_k - suma\ po\ k\ wyplatach s_1=m(1+p) s_2=(s_1+m)(1+p)=(m(1+p)+m)(1+p)=m(1+p)^2+m(1+p) s_3=(s_2+m)(1+p)=m(1+p)^3+m(1+p)^2+m(1+p) s_n=m(1+p)^n+m(1+p)^{n-1}+...+m(1+p)=m \left[(1+p)^n+(1+p)^{n-1}+...+(1...

A jeśli \(k \in R\), bo nie jest powiedziane, że jest całkowite, to \(x_n\ge 0\) i wtedy funkcja \(f\) ma minimum w punkcie \((0,0,...,0)\), jak dla \(k\) parzystego

f(x_1,x_2,x_3)=\sin x_1+\sin x_2+\sin x_3-\sin(x_1+x_2+x_3) x_1,x_2,x_3\in (0,\pi) {\{f_{x_1}=\cos x_1-\cos(x_1+x_2+x_3)=0\\f_{x_2}=\cos x_2-\cos(x_1+x_2+x_3)=0\\f_{x_3}=\cos x_3-\cos(x_1+x_2+x_3)=0}\ \Rightarrow \cos x_1=\cos x_2=\cos x_3\Rightarrow x_1=x_2=x_3\Rightarrow f_{x_1}=\cos x_1-\cos 3x_...

f(x_1,x_2,x_3)=ax_1x_2+bx_1x_3+cx_2x_3 {\{f_{x_1}=ax_2+bx_3=0\\f_{x_2}=ax_1+cx_3=0\\f_{x_3}=bx_1+cx_2=0}\ \Rightarrow x_1=x_2=x_3=0 f_{x_1x_1}=f_{x_2x_2}=f_{x_3x_3}=0\ \text{ nie rozstrzyga } {\{x_1=ct\\x_2=bt\\x_3=-at}\ \Rightarrow f(ct,bt,-at)=abct^2-abct^2-abct^2=-abct^2 {\{x_1=ct\\x_2=bt\\x_3=a...

f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy {\{f_x=4x^3-4x+4y=0\\f_y=4y^3-4y+4x=0}\ \Rightarrow 4x^3+4y^3=0\ \Rightarrow x=-y\ \Rightarrow f_x=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\ \Rightarrow \begin{cases}x=0\\y=0 \end{cases} \vee \begin{cases}x=- \sqrt{2}\\y=\sqrt{2} \end{cases} \vee \begin{cases} x= \sqrt{2}\\y=-\sqrt{2} \end{...

\lim_{x\to 0} \sin^2(10x)ctg^2x= \lim_{x\to 0} \sin^2(10x) \frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\lim_{x\to 0}\cos^2x \frac{\sin^2(10x)}{\sin^2x}=\lim_{x\to 0}\cos^2x \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(10x)}{\sin^2x}= =1 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2(10x)}{\sin^2x} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(10x)}{\sin x}=^{H}\li...

f(x_1,x_2)=\ln x_1+2\ln x_2+\ln(16-x_1-x_2) {\{\frac{ \partial }{ \partial x_1} f(x_1,x_2)= \frac{1}{x_1}-\frac{1}{16-x_1-x_2} =0\\ \frac{ \partial }{ \partial x_2} f(x_1,x_2)= \frac{2}{x_2}-\frac{1}{16-x_1-x_2} =0}\ \Rightarrow {\{2x_1=x_2\\x_1=16-x_1-x_2}\ \Rightarrow {\{x_1=4\\x_2=8} \frac{ \par...

Odległość kierownicy od środka elipsy wynosi \(\frac{a^2}{c}=\frac{b^2+c^2}{c}\) , gdzie a - półoś wielka,b - półoś mała, c - odległość ogniska od środka, stąd można wyznaczyć położenie ognisk

\sin x=\sin 2\cdot\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \cos x=\cos 2\cdot\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \int\frac{\cos x+1}{\sin x+1}dx=\int\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}+1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+1}dx=\int\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\fr...

\int \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} }dx=\int \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2} }dx=\int \frac{1}{x}\sqrt{{x^2+1}}dx t^2=x^2+1 x=\sqrt{t^2-1} dx=\frac{1}{2} \cdot \frac{2t}{\sqrt{t^2-1}}dt =\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt \int \frac{1}{x}\sqrt{{x^2+1}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} \cdot t \cdot \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt=\in...