Forum serwisu

Dla danej liczby naturalnej \(n\) wyznacz wszystkie macierze \(A \in R_{n \times n}\) takie, że \(A\cdot B = B\cdot A\) dla każdej macierzy \(B \in R_{n \times n} \)

Niech 𝜙 : 𝐵 → 𝐶 i niech Φ : 𝐴𝐶 → 𝐴𝐵 będzie taka, że Φ(𝑓) = 𝑓 ∘ 𝜙 dla wszystkich 𝑓.

Zakładając, że 𝐴 ma co najmniej dwa elementy, pokazać, że
1. Φ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy 𝜙 jest „na”;
2. Φ jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdy 𝜙 jest różnowartościowa.

Niech 𝑇 = ⋃︀𝑠∈𝑆 𝑇𝑠 i niech 𝒦 będzie rodziną wszystkich podzbiorów 𝑇, które z każdym ze zbiorów 𝑇𝑠 mają przynajmniej jeden element wspólny. Udowodnić, że jeśli 𝒦 ̸= ∅, to:

⋃︀𝑠∈𝑆 ⋂︀𝑡∈𝑇𝑠 𝐴𝑡 = ⋂︀ 𝑌∈𝒦 ⋃︀ 𝑡∈𝑌 𝐴𝑡

Niech 𝑓 : P(N) × P(N) → P(N) będzie taka, że 𝑓(⟨𝐶, 𝐷⟩) = 𝐶 − 𝐷, dla dowolnych 𝐶, 𝐷 ⊆ N. Czy 𝑓 jest różnowartościowa i czy jest na P(N)? Znaleźć obraz zbioru P(Parz) × P∞(N) i przeciwobraz zbioru {∅} przy przekształceniu 𝑓, gdzie Parz to zbiór wszystkich liczb naturalnych parzystych, a P∞(N) oznacza ...

Niech zapis k | n oznacza, że n jest naturalną wielokrotnością k, tzn. k | n ⇐⇒ ∃m ∈ N n = mk. Niech P ∈ P(N) oznacza zbiór wszystkich liczb pierwszych, tj. P = {p ∈ N | p > 1 ∧ ∀n ∈ N(n | p → n ∈ {1, p})}. Rozstrzygnij, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe: (a) ∀p ∈ P ∃n ∈ N (2p −...