Forum serwisu

Wykaż, że wszystkie wyrazu ciągu \(a_n\) określonego wzorem
\[a_n= \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+ \frac{1}{2n} \]
spełniają warunek \( \frac{1}{2}\leq a_n \leq 1\).

A dlaczego z tych ułamków rezygnujemy? I dlaczego tam jest \(n+1\) składników?

Aby udowodnić twoją nierówność za pomocą indukcji najprościej jest udowodnić nierówność od niej silniejszą: \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2} + \frac{1}{n} Dowód jest prosty i bazuje na tych samych zasadach na których dowód użytkownika Jerry z 20:14 Edit: Oczywiście ...

A dlaczego tam jest \((n+1)\) składników i skąd ci wyszło że ten pierwszy ciąg jest równy \(\frac{n+1}{2n}\)? I dlaczego to szacowanie jest "za grube"?

ale to szacowanie jest "za grube"... dla tej prawdziwej nierówności, bo \(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}>\underbrace{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}}_{(n+1)\text{ składników}}=\frac{n+1}{2n}>\frac{n}{2n}={1\over2}\) Pozdrawiam ...

Udowodnij prawdziwość nierówności stosując zasadę indukcji:
\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\ dla\ n \in N_+\)

\(\Limn\left( \frac{n^2 - 2}{n^2 }\right) ^{5n^2 +1} =\Limn\left[\left( 1+\dfrac{1}{{n^2\over-2} }\right)^{n^2\over-2}\right] ^\frac{-10n^2 -5} {n^2}=e^{-10} \) A dlaczego wyrażenia w nawiasach są podniesione do potęg, które nie dają wyrażenia początkowego tzn. \frac{n^2}{-2} \cdot \frac{-10n^2 -5}...

Możesz lepiej rozpisać i wyjaśnić wnioski wynikające z zasady indukcji?

Uzasadnij, że ciąg \(a_n\) jest ograniczony:
a) \(\begin{cases}a_1=1\\ a_{n+1}=2^{-a_n}\end{cases}\)

b) \( \begin{cases}a_1=100\\ a_{n+1}=\sin^2 a_n+10 \end{cases} \)

A nie \(x\in[-1,1]\)? Wydaje mnie się, że przedział przytoczony przez Icanseepeace będzie właściwy dla zbioru wartości. Mogę prosić o lepsze wytłumaczenie?

P.S.
Co ciekawe ten sam wynik dostaniemy po prostu korzystając z równania \( x^3 - x = 0 \So x^3 = x \So x^2 = 1 \).

A tego już wcale nie rozumiem. Może ktoś wyjaśnić zkąd to wynika?

Tak z twoich rozwiązań wynika, że średnia jest równa \(\approx 39.8\)

Chodzi mi też o drugi przypadek

Możesz napisać prawidłowe odpowiedzi?

Możesz rozpisać lepiej bo nie wiem skąd wynika np. \(c=0\)