Forum serwisu

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB. Prosta k prostopadła do przeciwprostokątnej przecina ją w punkcie D, a przyprostokątną BC w punkcie E różnym od punktów B i C (rysunek w linku poniżej). Wykaż, że kąt ACD równy jest kątowi AED.

https://imgur.com/gDmsScw

Wykaż, że dla dowolnej liczby \(a > 0\) prawdziwa jest nierówność:

\(
\log^2(\pi a) + \log^2(\pi+a) \ge \frac{2}{\log_{(\pi+a)}10} - \log_{\pi}\pi\)

Rozwiąż równanie w przedziale \([0,2\pi]\):

\(\sin x + \cos x = \frac{\cos^2x-\sin^2x}{1-2\sin x\cos x}\)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy ostrosłupa ma krawędź a . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 3 \alpha . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \alpha . Oblicz pole otrz...

Punkt S = (8,7) jest środkiem okręgu O . Przez punkt M = (-5,-2) poprowadzono sieczną k , której odległość od punktu S jest równa 5 oraz styczną l do okręgu O . Sieczna k przecina okrąg O w punktach B i C . Punkt A jest punktem wspólnym stycznej l i okręgu O , a odcinek AC jest średnicą tego okręgu....

Rozpatrzmy liczby naturalne większe od 1000, w których zapisie występuje tylko cyfra 1. Wykaż, że jeśli liczba 𝒂 zapisana za pomocą 𝒏 jedynek jest liczbą pierwszą, to liczba 𝒏 również jest liczbą pierwszą.

𝑎 = \( \underbrace{11\cdots111}_n\)

Na trapezie równoramiennym, w którym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, opisano okrąg. Przekątna trapezu zawiera się w dwusiecznej kąta leżącego przy dłuższej podstawie, w pole trapezu jest równe 27. Uzasadnij, że średnica okręgu opisanego na tym trapezie ma długość 4\( \sqrt[4]{27}.\)

Czy objętość nie powinna wyjść \(36 \sqrt{ 23}\) ?

Dla pewnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi równość \(\frac{1+x^4}{x^2} + \frac{1+16y^4}{4y^2} = 4\). Udowodnij, że \(x^2 + y^2 = \frac{5}{4}\).

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS , którego podstawą jest trójkąt ABC o boku długości 12 . Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek A , prostopadła do płaszczyzny ściany BCS , przecina krawędzie BS i CS odpowiednio w punktach D i E , tak że |BD|:|DS| = |CE|:|ES| = 4:5 (jak na rysunku)....