Forum serwisu

Rozwiąż równanie \(2\sin^2x+ \sqrt{3} \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2}+\sin x \)

Wiedząc, że \(4\sin^2 \alpha -3\cos^2 \alpha =3\) i \( \alpha \) jest kątem ostrym. Oblicz \(\tg \alpha \)

Sprawdź czy liczba jest całkowita: \(\log_2\sin60^{ \circ }+\log_2\tg30^{ \circ }\)

Wykaż, że jeśli \( \alpha \) i \( \beta \) są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego to \(\tg \alpha +\tg \beta \ge 2\)

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{4} \). Oblicz \(2+\sin^3 \alpha +\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha \)

Wykaż, że dla każdego kąta ostrego \( \alpha \):
\( \frac{\sin^3 \alpha +\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha }{\cos \alpha \cdot \tg \alpha }=1 \)

Wykaż, że wartość wyrażenia jest stała i nie zależy od miary kąta ostrego \( \alpha \).
\( \frac{1+2sin \alpha cos \alpha }{(sin \alpha +cos \alpha )^2} \)

Kąt \( \alpha \) jest ostry. \(\sin \alpha +\tg \alpha = \frac{32}{15} \) i \(\sin \alpha -\tg \alpha = - \frac{8}{15} \). Oblicz \(\cos \alpha \)

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \(sin \alpha +cos \alpha = \frac{7}{5} \). Oblicz \(2sin \alpha cos \alpha \)

Kąt \( \alpha \) jest ostry i spełnia warunek \( \frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{cos \alpha }=4 \). Oblicz tg.

Znajdź miarę kąta prostego \( \alpha \), który spełnia warunek:
\( \sqrt{3} \cdot \frac{1-\cos \alpha }{\cos \alpha } \cdot \frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=1 \)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Płaszczyzna przechodzącą przez krawędź AB i zawierająca srodek ciężkości podstawy DEF jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \( \alpha \) takim, ze \(tg \alpha = \frac{9}{8} \). Oblicz Pole przekroju graniastosłupa ta płaszczyzna.

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym miara kąta przy wierzchołku C jest równa 90^\circ i |AC|>|BC| . Środek okręgu stycznego do boku BC w punkcie E i do boku AC w punkcie P leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją na odcinki długości 15 i 20 . a) Oblicz długość promienia tego okręgu. b) Prost...

Wykaż, że:
a) Zał: a,b \( \in \rr \)
Teza: \(a^2+b^2+16 \ge ab+4a+4b\)
Dowód: ...

b) Zał: x,y \( \in \rr \)
Teza: \(9x^4+y^4+6 \ge 12xy\)
Dowód: ...

Prosta przechodzącą przez punkt \(A(1,4)\) odcina na dodatnich półosiach odcinki, których suma długości jest najmniejsza. Wyznacz równanie tej prostej.