Forum serwisu

Niech \( G \) i \( H \) będą grupami oraz \( f : G \rightarrow H \) homomorfizmem. Pokaż, że nie każda podgrupa \( U \subseteq G \) spełnia : \( gUg^{-1} = U, \forall g \in G \) Kompletnie nie wiem jak to zrobić. Ma ktoś jakiś pomysł. Teoretycznie znam definicje, ale nie umiem zbytnio ich tu zastoso...

Bardzo dziękuję za odpowiedź, nie do końca rozumiałem to w jaki sposób funkcja została określona, ale teraz wszystko stało się dla mnie jaśniejsze. Mam jeszcze dwa pytania; 1)"po pomnożeniu z lewej przez \( g^{-1} \)" chodzi o pomnożenie obustronne? (wtedy mamy \(gh_{1}g^{-1} = gh_{2}g^{-1...

Podana jest grupa \( G, \circ ) \) z elementem neutralnym \( e \) oraz przynajmniej dwoma elementami \( g, h\). Niech \( g \in G, g \ne e \). Udowodnij albo zaprzecz, że podana funkcja: \( \lambda_{g} : \) \( \begin{cases} G \rightarrow G\\ h \mapsto g \circ h \end{cases} \) jest (a) iniekcją (b) su...

Podaj, gdzie podane funkcje są różniczkowalne. Oblicz ich pochodną. a) \( f(x)= \begin{cases} 0, \ x \leq 0,\\ \exp(-\frac{1}{x}), \ x > 0 \end{cases} \) Nie wiem jak w tym przypadku obliczyć prawo- i lewostronną pochodną. Z lewej strony wychodzi \( [\frac{0}{0}] \), z prawej zaś jeśli będę chciał p...

Co jest nie tak z dziedziną? Czy jej tutaj w ogóle nie powinno być?

I skąd te przekształcenie? Nie wiem właśnie kompletnie dlaczego z sumy powstaje nam sam \( \ln \) i dlaczego możemy skorzystać z tej wskazówki. Nie rozumiem dlaczego te przekształcenia są możliwe

Oblicz wartość szeregu: \( \sum\limits_{n = 2}^{\infty} \ln ( 1 - \frac{1}{n^{2}})\) wyzanaczyłem dziedzinę: \( D = (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \) no i na tym w sumie się skończyło... ta wartość będzie raczej na minusie albo równa zero - wnioskuję z tego, że \( 1 - \frac{1}{n^{2}} \) zbliża się c...

(z-i)^2=z^2-2iz-1 Czyli w tym przypadku \( f(z) = z-i \) dla \( z \neq i \) I teraz jeżeli liczę prawo- i lewostronną granicę \( \to i \) z obu stron wychodzi \( 0 \), czyli funkcja jest ciągła? Bo ciężko mi jest to sobie wyobrazić, w rzeczywistych często rysuję sobie wykres jeśli czegoś nie jestem...

Zbadaj czy podana funkcja jest ciągła: 1) f : \( \mathbb{C} \to \mathbb{C} \), \( f(z) = f(z) = \begin{cases} \frac{z^{2} - 2iz - 1}{z-i}, z \neq i \\ 0, z = i \end{cases} \) Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. To moje pierwsze zadanie z ciągłości funkcji. Nie rozwiązywałem jeszcze podobnych z...

Bardzo dziękuję za podpowiedź! co do pkt 2 jeszcze, jeżeli oba szeregi są rozbieżne, to iloczyn Cauch'ego tych szeregów też jest rozbieżny?

Niech \( a_{0} = 3, a_{k} = 3^{k}, b_{0} = -2, b_{k} = 2^{k}, k \in \mathbb{N} \) Niech \( c_{k} := \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{i} b_{k-i} \), 1)Oblicz \( c_{k} \) dla dowolnego \( k \in \mathbb{N} \) 2)Sprawdź, czy szereg \( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} c_{k} \) jest zbieżny. Jeśli tak, podaj jego w...

\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{2 - (-1)^k}{k!} - 1 = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{2}{k!} - \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} - 1 Dalej powinieneś już sobie poradzić. Nie do końca wiem co zrobić z \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2}{k!} \), bo \( \sum\limits_{k=0}^{\infty} \f...

Zaczynasz od przeindeksowania sumy: \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{2 + (-1)^k}{(k+1)!} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{2 - (-1)^k}{k!} - 1 Skąd się bierze ta \( -1 \)? i też nie do końca rozumiem - w jaki sposób przeindeksowujemy tutaj tę sumę? bo \( k = 0 \), nie powinno być \( k = 1 \) p...

Oblicz wartość szeregu \( \Sigma_{k=0}^ \infty \frac{2 + (-1)^{k}}{(k+1)!} \)

Doszedłem do wniosku, że:

\( \Sigma_{k=0}^ \infty \frac{2 + (-1)^{k}}{(k+1)!} = exp(1) \Sigma_{k=0}^ \infty \frac{2+(-1)^{k}}{k+1} \) i nie wiem co dalej z tym zrobić

Podaj przykład zbieżnego szeregu \( \sum_{k=1}^\infty a_{k} \) i zbieżnego ciągu \( (c_{k})_{k \in \mathbb{N}} \), takiego że szereg \( \sum_{k=1}^\infty c_{k} a_{k} \) jest rozbieżny. Wskazówka: Skorzystaj z ciągu harmonicznego i 1 części zadania. W pierwszej części zadania pokazałem, że szereg \( ...

Do zabdania mam szereg: \( \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{k} k!}{k^{k}}\ \) Pomyślałem, że mógłbym w jakiś sposób wykorzystać \( \frac{k!}{k^{k}} \leq \frac{1}{k^{2}} \), ale gdy próbuje to szacować do góry zostaje mi \( e^{k} \) i nie wiem co tym zrobić. Nie mogę tez już użyć kryterium d'Alemberta, bo ...