Forum serwisu

Alternatywą może być skorzystanie z faktu iż pomiędzy liczbami a i b musi istnieć zależność liniowa tj:
\( a = bt \) dla pewnego rzeczywistego \(t\)
Po podstawieniu wystarczy rozłożyć na czynniki dwa trójmiany kwadratowe i skrócić wspólny czynnik.

Można też skorzystać z tego, że jest to wielomian zwrotny, więc mamy schemat rozkładu na czynniki.

\int \left( \frac{\arctan(x)}{x - \arctan(x)} \right)^2 dx = \int \left(1 - \frac{x}{x - \arctan(x)} \right)^2 dx = \\ \int 1 dx - \int \left( \frac{2x}{x - \arctan(x)} \right) + \int \left(\frac{x}{x - \arctan(x)} \right)^2 dx \stackrel{*}{=} \\ \int 1 dx -\biggl( \frac{x^2 + 1}{x - \arctan(x)} +\...

Hermi pisze: ↑17 mar 2024, 20:00 Więc prościej wykorzystać kryterium różniczkowe, ale jest jakaś zasada do której pochodnej mam to liczyć na wyczucie?

Różniczkujesz gdy n jest w liczniku.
Całkujesz gdy n jest w mianowniku.

Formalnie: \[(2n-1)^3+(2n+1)^3+(2n+3)^3=\\\ldots\\=24n^3+36n^2+30n+27=\\=9\left(2n^3+4n^2+3n+3+{2n^3+10n\over3}\right)\] Pozostaje, lematycznie, przez przypadki: \(n=3k,\ n=3k+1,\ n=3k-1\) wykazać, że \[3\mid 2n(n^2+5)\] co nie jest skomplikowane... Pozdrawiam albo nie bawić się w przypadki i od ra...

Ciąg jest malejący, więc suma będzie największa gdy zsumujemy wszystkie wyrazy dodatnie.
\( a_n > 0 \So n \leq 11 \)
\( n = 11 \)

https://pl.wikipedia.org/wiki/Zasadnicz ... ie_algebry
Wielomian stopnia III w liczbach zespolonych ma 3 pierwiastki.
W tym przypadku są to:
\( x_1 = 1 + i \ , \ x_2 = 1 - i , \ x_3 = 2 \)

Maciek32 pisze: ↑21 lut 2024, 22:22 Faktycznie! Ale jak określić wartość parametru p? Takie uzależnienie od q jest wystarczające?

Wartości jest nieskończenie wiele i są uzależnione od siebie.
Zapis jest wystarczający.

Dłuższy sposób: 1) Szukasz pierwiastków wielomianu Q(x) 2) Ustalasz resztę jako wielomian o stopniu 1 mniejszym niż Q(x) 3) Z twierdzenia o dzieleniu z resztą wersja dla wielomianów tworzysz odpowiednie równania Weźmy ostatni wielomian: 1) Q(x) = x^4 - 1 \So x = 1 \vee x = -1 \vee x = i \vee x = -i ...

a) x_1 = 1 + i nie jest pierwiastkiem tego wielomianu (może miało być: x^3 - 4x^2 + 6x - 4 ? Jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych to również liczba do niej sprzężona jest jego pierwiastkiem. Dlatego: b) x_1 = 2 - 3i jest pierwiastkiem, więc również ...

Maciek32 pisze: ↑21 lut 2024, 21:43 Wychodzi, że \(p=-6-q\), z równania \(W(-1)\) i po podstawieniu do \(W(1)\) wychodzi, równanie tożsamościowe \(10=10\). To znaczy, że \(p,q\in \rr\)?

Nie. To oznacza, że
\( p = -6 - q \ , \ q \in R \).

Szymonix1818 pisze: ↑04 lut 2024, 22:52 a przez pochodną będzie tak
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)

albo:
\( f(a) = ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} ) \)
albo:
\( f(x) = ( \frac{64}{x} + \frac{x^2}{2} ) \)
ale na pewno nie:
\(f(x)= ( \frac{64}{a} + \frac{a^2}{2} )\)

yelan pisze: ↑02 lut 2024, 19:02 przepraszam nie rozumiem?

Twój ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, więc nieograniczony z góry.